Universo Científico - Geometría analítica en el plano: las secciones cónicas - Foro

Página 1 de 11
Foro » Departamento de Matemática » Teóricos » Geometría analítica en el plano: las secciones cónicas
Geometría analítica en el plano: las secciones cónicas
18-10-2013, 5:11 PM
Post: #1
Las secciones cónicas



Geométricamente podemos decir que las secciones cónicas son cuatro: circunferencia, parábola, elipse e hipérbola y resultan de la intersección de un cono con un plano.

Pero visto desde un punto de vista analítico, las secciones cónicas son todas las figuras que tienen como ecuación:
$$ A·x^2 + B·x·y + C·y^2 + D·x + E·y + F = 0 $$
Donde todos los coeficientes son reales y que cumplen la condición de que \( A, B, C \) no son simultáneamente cero.

Sin embargo, no todas las figuras que presentan una ecuación como la de la fórmula son una circunferencia, parábola, elipse o hipérbola; es más, hay figuras, como es el caso de las rectas, que no cumplen esto.

Veamos el siguiente ejemplo, consideremos dos rectas: \( ( r ) x + y + 1 = 0 \) y \( ( s ) x + y -2 = 0 \). Ahora las vamos a multiplicar:
$$ (x + y + 1)·(x + y -2) = 0 $$

Se trata de un producto de rectas (producto de ecuaciones de las rectas) por lo que si graficamos, veríamos algo como esto:


Si realizamos la correspondiente distributiva, llegaremos a la siguiente expresión:
$$ x^2 + 2·x·y + y^2 - x - y - 2 = 0 $$
Sin embargo, esta ecuación corresponde a la definición de cónica de Descartes pero no lo es, por esta razón, se decidió llamarlas de otra manera y distinguir entre las cónicas tradicionales y éstas. A este tipo de expresiones que se ajustan a la definición analítica pero no a la geométrica, se les conoce como cónicas degeneradas.

Hallar las rectas que conforman a la cónica degenerada (producto de rectas)

Reglas:
1. Se ordenada en \( x^2 \).
2. Se aplica Bháskara.
3. Se escribe el producto de rectas.

· Ver ejemplos.

Archivo(s) adjunto(s): 4344389.png(51Kb) · 6750619.png(43Kb)

¿No estás de acuerdo con lo que escribí? ¡por favor explícame tu punto de vista! :)

· No se resuelven problemas ni se responde a consultas sobre matemática, física ni química por mensaje privado.
· Si utilizas material de este sitio, no olvides citar la fuente.
· Si te sirvió lo que dije, puedes agradecerme aumentado mi reputación.
· Si ven que tengo una falta de ortografía un hechicero lo hizo.
18-10-2013, 5:41 PM
Post: #2
Conociendo ecuación, reconocer si una cónica es degenerada o no



Para saber si una cónica es tradicional: cfa, parábola, elipse o hipérbola; o degenerada: producto de rectas, se debe seguir el siguiente procedimiento.

1. Estudio del género de la cónica:
· Si \( A = C \) y \( B = 0 \) la cónica es una cfa.
· Si \( B^2-4·A·C = 0 \) la cónica presenta género parabólico (parábola o producto de rectas paralelas).
· Si \( B^2-4·A·C < 0 \) la cónica presenta género elíptico (elipse o producto de rectas secantes).
· Si \( B^2-4·A·C > 0 \) la cónica presenta género hiperbólico (hipérbola o producto de rectas imaginarias: rectas con coeficientes complejos imaginarios; punto).




2. Degeneramiento de la cónica:
Se debe calcular el determinante de la siguiente matriz:
$$ \begin{bmatrix}{2A}&{B}&{D}\\{B}&{2C}&{E}\\{D}&{E}&{2F}\end{bmatrix} $$

Afirmaremos que la cónica es degenerada si y sólo si el resultado de dicho determinante es cero.

Hallar las rectas que conforman a la cónica degenerada (producto de rectas)

Reglas:
1. Se ordenada en \( x^2 \).
2. Se aplica Bháskara.
3. Se escribe el producto de rectas.

· Ver ejemplos.

Archivo(s) adjunto(s): 5320816.png(219Kb)

¿No estás de acuerdo con lo que escribí? ¡por favor explícame tu punto de vista! :)

· No se resuelven problemas ni se responde a consultas sobre matemática, física ni química por mensaje privado.
· Si utilizas material de este sitio, no olvides citar la fuente.
· Si te sirvió lo que dije, puedes agradecerme aumentado mi reputación.
· Si ven que tengo una falta de ortografía un hechicero lo hizo.
Foro » Departamento de Matemática » Teóricos » Geometría analítica en el plano: las secciones cónicas
Página 1 de 11
Búscar:


Últimos cinco temas activos...
Tema Foro Autor Respuestas Último mensaje
PENDIENTE Ecuacion circunferencias Problemas sin resolver elva 1 08-03-2016 2:06 AM
Último mensaje: Admin
Geometría analítica en el plano: circunferencia Teóricos Admin 4 18-11-2015 10:57 PM
Último mensaje: joserodriguez0173
PENDIENTE Problema de dinamica, cañón unido a resorte Problemas sin resolver andremn 1 14-11-2015 3:18 PM
Último mensaje: jotazone10
PENDIENTE Ayuda con mi tarea :)), Resuelve la desigualdad Problemas sin resolver spayrro_234 0 30-08-2015 10:24 PM
Último mensaje: spayrro_234
Saludos a todos Presentaciones JOHN 0 02-01-2015 10:45 PM
Último mensaje: JOHN