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Funciones polinómicas
04-11-2012, 5:36 PM
Post: #1
Definición:
Se denomina función polinómica a toda función \(f:ℝ → ℝ\), de la forma:
\( f(x) = a·x^n + b·x^{n-1} + ... + c·x + d \)

En donde:
· \((a, b, c, d) ∊ ℝ\)
· \(n ∊ ℕ\)

A tener en cuenta:
· Los números \( (a, b, c, d) \) reciben el nombre de coeficientes de la función polinómica.
· Se conoce como término independiente al término \( (d) \) que no posee variable.

Grado de una función polinómica:
Es el mayor exponente al que está elevada la variable si su coeficiente es distinto de cero.

Representaciones gráficas de funciones polinómicas:










División de funciones polinómicas

Definición:
Dadas dos funciones polinómicas \( f(x) \) y \( g(x) \), con \( g(x) ≠ 0 \), existen y son únicas las funciones polinómicas \( q(x) \) y \( r(x) \), que verifican las siguientes condiciones:
a. \( f(x) = g(x)·q(x) + r(x) \)
b. \( g(x) > r(x) \) con respecto al grado (el grado de \( g(x) \) debe ser mayor que el grado de \( f(x) \)).

Características:
· Las funciones polinómicas son continuas: su gráfico no presenta discontinuidad, puede dibujarse "sin levantar el lápiz".
· Las funciones polinómicas no presentan puntos singulares: en lenguaje coloquial podemos decir que las gráficas de las funciones polinómicas son "suaves" y no presentan "pinchos".
· Las funciones polinómica de grado mayor que 1, tienen dirección asintótica: crece o decrece en forma infinita, tendiendo la gráfica a quedar paraelela al eje de las ordenadas.

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04-11-2012, 5:37 PM
Post: #2
Esquema de división de Ruffini:

El esquema de división de Paolo Ruffini permite dividir un polinomio de grado dos en adelante, entre un binomio de primer grado, este método se destaca debido a su facilidad y rapidez.

· Más información en este tema.

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04-11-2012, 5:37 PM
Post: #3
Teorema del resto

Enunciado:
El resto de dividir una función polinómica \( p(x) \) entre un binomio \( (x - a) \), es igual a \( p(a) \).


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04-11-2012, 5:37 PM
Post: #4
Teorema de Descartes

Enunciado:
La condición necesaria y suficiente para que \( p(x) \) sea divisible entre \( (x-a) \) es que \( a \) sea raíz de \( p(x) \).

Expresado matemáticamente:
\( p(x) \) es divisible entre \( (x-a) ⇔ a \) es raíz de \( p(x) \)


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04-11-2012, 5:41 PM
Post: #5
Teorema de descomposición factorial

Toda ecuación se puede expresar como producto factores, de la forma:
\( a·(x-\alpha_{1})·(x-\alpha_{2})·...·(x-\alpha_{n})\)

Toda ecuación se puede expresar en forma de producto como: el producto del coeficiente principal, por \(x\) más el opuesto de la raíz.

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04-11-2012, 5:42 PM
Post: #6
Relación entre grado y número de raíces

· Una función polinómica de grado \( n \) tiene como máximo \( n \) raíces distintas.
· Una función polinómica de grado \( n \), tiene \( n \) raíces.

Sea \( f(x) = x^2 - 4·x + 4 \), y si pretendemos hallar sus raíces, veremos que el único número complejo que cumple: \( x^2 - 4·x + 4 = 0 \) es el \( 2 \), pero esta raíz es doble, la pregunta del millón es: ¿cómo saber cuándo es doble la raíz?, porque, por ejemplo, si tenemos la función \( p(x) = x^2 + 2·x - 3 \), y pretendemos hallar sus raíces, por raíces evidentes tenemos que una de sus raíces es \( x = 1 \), y ¿cómo sabemos si es doble o no? Bueno, la cosa es así, tenemos que graficar las funciones y ver sus puntos de corte con el eje \( x \) (eje horizontal):

Quote
$$ f(x) = x^2 - 4·x + 4 $$


Quote
$$ p(x) = x^2 + 2·x - 3 $$


Quote
A tener en cuenta: cuando el vértice de la parábola corta el eje \( x \), estamos en presencia de una raíz doble, pero cuando corta otra parte de la parábola dicho eje, tenemos dos raíces reales distintas.

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04-11-2012, 5:44 PM
Post: #7
Relaciones entre raíces y coeficientes

Polinomios de primer grado:




Polinomios de segundo grado:


La relación entre los coeficientes y las raíces en los polinomios cuadráticos se suele expresar de la siguiente manera:


Siendo:
· S = suma de las raíces
· P = producto de las raíces



Polinomios de tercer grado:




Polinomios de cuarto grado:




Polinomios de enésimo grado:




Siendo:
· a0 = coeficiente del término independiente.
· a1 = coeficiente principal.
· a2 = segundo coeficiente (coeficiente de variable de un grado menor al del coeficiente principal).
· n = grado del polinomio

Quote
· Las letras griegas representan raíces.

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04-12-2012, 1:39 PM
Post: #8
Expresiones:

Función cuadrática:

· Forma polinómica:
\( f(x) = a·x^2 + b·x + c \)

Ejemplo:
\( f(x) = x^2 + x - 6 \)

· Forma factorizada:
\( f(x) = a·(x - \alpha)·(x - \beta) \)

Siendo:
· \( a \) = término principal.
· \( x \) = variable de la ecuación.
· \( \alpha \) = una de las raíces.
· \( \beta \) = otra de las raíces.

Ejemplo:
\( f(x) = (x-2)·(x+3) \)

· Forma canónica:
\( f(x) = a·( x - x_{v} )^2 + y_{v} \)

Cálculo de \( x_{v} \):
\(x_{v} = \frac {\alpha + \beta}{2} = \frac{-b}{2·a} \)

Cálculo de \( y_{v} \):
Se hace conociendo de antemano \( x_{v} \).

Se sustituye la variable \( x \) por el valor de \( x_{v} \), y el resultado es \( y_{v} \).

\( f( x_{v} ) = a·x_{v}^2 + b·x_{v} + c \)

O se puede utilizar una fórmula:
$$ y_{v} = \frac {4·a·c - b^2}{4·a} $$

Vértice de la parábola:
\( v (x_{v}, y_{v}) \)

Ejemplo:
\( f(x) = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{25}{4} \)

Quote
Se escribió el mismo polinomio en las tres formas distintas. Todas las formas son equivalentes, tienen el mismo conjunto solución, es la misma función escrita de otra manera.

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22-02-2013, 9:52 PM
Post: #9
Las raíces múltiples (dos o más que sean iguales, e.g.: raíz doble, raíz triple, y así sucesivamente) tienen diferente aspecto gráfico según las mismas sean raíces múltiples de orden par o impar.

Orden par (para raíces múltiples mayores que la unidad):





Orden impar (para raíces múltiples mayores que la unidad):




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22-02-2013, 10:10 PM
Post: #10
Máximos y mínimos locales de funciones polinómicas



Teorema:
Si \( f \) es una función polinómica de grado \( n \): \( f(x) = a_{n}·x^{n} + a_{n-1}·x^{n-1} + ... + a_{1}·x + a_{0} \) entonces la gráfica de \( f \) tiene a lo sumo \( n - 1 \) extremos locales.
Ejemplo: una función polinómica de tercer grado puede tener ninguno, uno, o dos extremos locales.


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