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Esquema de división de Ruffini para divisores de primer grad
23-01-2013, 10:22 PM
Post: #1
Esquema de división de Ruffini para divisores de primer grado

El esquema de división de Paolo Ruffini, es un método muy rápido para hallar el cociente y el resto resultantes de dividir un polinomio de segundo grado en adelante, entre otro de primer grado.

Se hace una tabla en la que se trabajará con los coeficientes del los polinomios.
En la primer fila, a partir de la segunda columna, se anotarán los coeficientes de polinomio a dividir (polinomio dividendo), ocupando, los coeficientes cada uno una columna.
En la segunda fila, primera columna, se anotará la raíz del polinomio a dividir (polinomio divisor).
En la tercera fila, a partir de la segunda columna, se escribirán los coeficientes del polinomio cociente, mientras que el último lugar de esta fila será ocupado por el resto.

Siempre que falte un coeficiente, se podrá 0.



Esquema de división de Ruffini para divisores de forma la \( (x-α) \)
Sea \( f(x) \) un polinomio de grado \( n \), con \( n > 1 \); de la forma: \( f(x) = a_{n}·x^{n} + a_{n-1}·x^{n-1} + ... + a_{1}·x + a_{0} \).
Sea \( z(x) \) un polinomio de primer grado, de la forma \( (x-α) \).

Se pretende hallar el cociente \( q(x) \) y resto \( r(x) \) de la división de \( f(x) \) entre \( z(x) \).



Esquema de división de Ruffini para divisores de forma la \( (a·x+b) \)
Sea \( f(x) \) un polinomio de grado \( n \), con \( n > 1 \); de la forma: \( f(x) = a_{n}·x^{n} + a_{n-1}·x^{n-1} + ... + a_{1}·x + a_{0} \).
Sea \( z(x) \) un polinomio de primer grado, de la forma \( (a·x+b) \).

Se pretende hallar el cociente \( q(x) \) y resto \( r(x) \) de la división de \( f(x) \) entre \( z(x) \).



Quote
Recordemos que la raíz de un binomio de primer grado de la forma \( (a·x+b) \) es \( x = - \frac {b}{a} \).


Quote
Atención: (otra regla más)
Para dividir una función polinómica \( p(x) \) entre un divisor de la forma \( (a·x+b) \), usando el método de Ruffini, se divide \( p(x) \) entre \( (x-α) \), siendo \( α = - \frac {b}{a} \).
1. Al cociente \( q'(x) \) de esta división auxiliar, habrá que dividirlo entre \( α \), para obtener el cociente buscado, es decir: \( q(x) = \frac {q'(x)}{a} \).
2. El resto de esta división es el mismo que el resto buscado.

Archivo(s) adjunto(s): 0589927.png(3Kb) · 4874828.png(2Kb) · 8559217.png(2Kb)

¿No estás de acuerdo con lo que escribí? ¡por favor explícame tu punto de vista! :)

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· Si ven que tengo una falta de ortografía un hechicero lo hizo.
23-01-2013, 11:27 PM
Post: #2
División de dos polinomios por el método de Ruffini:

A modo de ejemplo:
Quote
Sea \( a(x) = 8·x^{3} - 14·x^{x} + 1 \). Y sea \( b(x) = x - 2 \).

Se pretende hallar el cociente \( q(x) \) y resto \( r(x) \) de la división de \( a(x) \) entre \( b(x) \).


Primero que nada, vemos que el polinomio dividendo está incompleto, completaremos los coeficientes faltantes por 0. Y los ubicamos en una tablita.

$$ \begin{array}{c|cccc}
{} & 8 & -14 & 0 & 1 \\
2 & {} & {} & {} & {} \\
\hline
{} & {} & {} & {} & {} \\

\end{array} $$

Comenzamos bajando el 8 a la última fila:

$$ \begin{array}{c|cccc}
{} & 8 & -14 & 0 & 1 \\
2 & {} & {} & {} & {} \\
\hline
{} & {8} & {} & {} & {} \\

\end{array} $$

Lo multiplicamos por 2 (raíz del polinomio divisor) y el resultado lo ubicamos en la segunda fila y una columna más a la derecha del lugar donde estaba.

$$ \begin{array}{c|cccc}
{} & 8 & -14 & 0 & 1 \\
2 & {} & {16} & {} & {} \\
\hline
{} & {8} & {} & {} & {} \\

\end{array} $$

Sumamos -14 + 16, el resultado lo escribimos en la última fila y misma columna.

Repetimos este proceso hasta haber completado.

$$ \begin{array}{c|cccc}
{} & 8 & -14 & 0 & 1 \\
2 & {} & {16} & {4} & {8} \\
\hline
{} & {8} & {2} & {4} & {| 9} \\

\end{array} $$

El polinomio cociente tiene un grado menos que el polinomio dividendo, por lo cual lo escribo de la siguiente forma: \( q(x) = 8·x^{2} + 2·x + 4 \), \( r(x) = 9 \).

Verificación:
Para verificar si hicimos todo bien, aplicamos la definición de división entera.
$$ dividendo = divisor * cociente + resto $$
$$ a(x) = b(x) * q(x) + r(x) $$

Sustituimos y empezamos a realizar las cuentas.
$$ 8·x^{3} - 14·x^{x} + 1 = (x - 2) · (8·x^{2} + 2·x + 4) + 9 $$
$$ 8·x^{3} - 14·x^{x} + 1 = 8·x^{3}+2·x^{2}+ 4·x -16·x^{2}-4·x-8 + 9 $$
$$ 8·x^{3} - 14·x^{x} + 1 = 8·x^{3} - 14·x^{x} + 1 $$

Llegamos a lo mismo de los dos lados, por lo cual podemos afirmar que la división está bien hecha, y que los resultados obtenidos son correctos.

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