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Definición: Se denomina función polinómica a toda función \(f:ℝ → ℝ\), de la forma: \( f(x) = a·x^n + b·x^{n-1} + ... + c·x + d \)
En donde: · \((a, b, c, d) ∊ ℝ\) · \(n ∊ ℕ\)
A tener en cuenta: · Los números \( (a, b, c, d) \) reciben el nombre de coeficientes de la función polinómica. · Se conoce como término independiente al término \( (d) \) que no posee variable.
Grado de una función polinómica: Es el mayor exponente al que está elevada la variable si su coeficiente es distinto de cero.
Representaciones gráficas de funciones polinómicas:
$$ f(x) = 3$$
$$ f(x) = x + 4 $$
$$ f(x) = x^2 + 3·x - 2 $$
$$ f(x) = x^3 - 5·x^2 + 2·x + 6 $$
$$ f(x) = x^4 + x^3 - 4·x^2 - 2·x + 1 $$
División de funciones polinómicas
Definición: Dadas dos funciones polinómicas \( f(x) \) y \( g(x) \), con \( g(x) ≠ 0 \), existen y son únicas las funciones polinómicas \( q(x) \) y \( r(x) \), que verifican las siguientes condiciones: a. \( f(x) = g(x)·q(x) + r(x) \) b. \( g(x) > r(x) \) con respecto al grado (el grado de \( g(x) \) debe ser mayor que el grado de \( f(x) \)).
Características: · Las funciones polinómicas son continuas: su gráfico no presenta discontinuidad, puede dibujarse "sin levantar el lápiz". · Las funciones polinómicas no presentan puntos singulares: en lenguaje coloquial podemos decir que las gráficas de las funciones polinómicas son "suaves" y no presentan "pinchos". · Las funciones polinómica de grado mayor que 1, tienen dirección asintótica: crece o decrece en forma infinita, tendiendo la gráfica a quedar paraelela al eje de las ordenadas.
El esquema de división de Paolo Ruffini permite dividir un polinomio de grado dos en adelante, entre un binomio de primer grado, este método se destaca debido a su facilidad y rapidez.
· Una función polinómica de grado \( n \) tiene como máximo \( n \) raíces distintas. · Una función polinómica de grado \( n \), tiene \( n \) raíces.
Sea \( f(x) = x^2 - 4·x + 4 \), y si pretendemos hallar sus raíces, veremos que el único número complejo que cumple: \( x^2 - 4·x + 4 = 0 \) es el \( 2 \), pero esta raíz es doble, la pregunta del millón es: ¿cómo saber cuándo es doble la raíz?, porque, por ejemplo, si tenemos la función \( p(x) = x^2 + 2·x - 3 \), y pretendemos hallar sus raíces, por raíces evidentes tenemos que una de sus raíces es \( x = 1 \), y ¿cómo sabemos si es doble o no? Bueno, la cosa es así, tenemos que graficar las funciones y ver sus puntos de corte con el eje \( x \) (eje horizontal):
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$$ f(x) = x^2 - 4·x + 4 $$
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$$ p(x) = x^2 + 2·x - 3 $$
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A tener en cuenta: cuando el vértice de la parábola corta el eje \( x \), estamos en presencia de una raíz doble, pero cuando corta otra parte de la parábola dicho eje, tenemos dos raíces reales distintas.
La relación entre los coeficientes y las raíces en los polinomios cuadráticos se suele expresar de la siguiente manera:
Siendo: · S = suma de las raíces · P = producto de las raíces
Polinomios de tercer grado:
Polinomios de cuarto grado:
Polinomios de enésimo grado:
Siendo: · a0 = coeficiente del término independiente. · a1 = coeficiente principal. · a2 = segundo coeficiente (coeficiente de variable de un grado menor al del coeficiente principal). · n = grado del polinomio
Se escribió el mismo polinomio en las tres formas distintas. Todas las formas son equivalentes, tienen el mismo conjunto solución, es la misma función escrita de otra manera.
Las raíces múltiples (dos o más que sean iguales, e.g.: raíz doble, raíz triple, y así sucesivamente) tienen diferente aspecto gráfico según las mismas sean raíces múltiples de orden par o impar.
Orden par (para raíces múltiples mayores que la unidad):
Orden impar (para raíces múltiples mayores que la unidad):
Máximos y mínimos locales de funciones polinómicas
Teorema: Si \( f \) es una función polinómica de grado \( n \): \( f(x) = a_{n}·x^{n} + a_{n-1}·x^{n-1} + ... + a_{1}·x + a_{0} \) entonces la gráfica de \( f \) tiene a lo sumo \( n - 1 \) extremos locales. Ejemplo: una función polinómica de tercer grado puede tener ninguno, uno, o dos extremos locales.
Función de tercer grado:
Ningún extremo local:
1 extremo local (1 máximo local):
2 extremos locales (1 máximo local y 1 mínimo local):
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