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Hallar punto de parábola que está más cerca de otro interior
22-09-2013, 10:04 PM
Post: #1
Hallar el o los puntos sobre la gráfica de la ecuación \( y^2 = 4·x \) que están más cerca del punto P(2,1).
22-09-2013, 10:05 PM
Post: #2
Grafico los datos que se tienen:


Como se nos pide cuál es el punto más cercano, haremos distancia entre dos puntos, entre el punto conocido y el punto que pertenece a la parábola. Este último deberá ser de coordenadas:
$$ M (\frac {y^2}{4}, y) $$




$$ d(P,M) = \sqrt {(2-\frac {y^2}{4})^2 + (1-y)^2} $$

Se deriva la anterior expresión y se iguala a 0. Las raíces de la anterior ecuación, serán las coordenadas del o los puntos de la parábola que cumplen la condición de estar igualmente cerca del punto P.

Para facilitarnos un poco la vida con la derivada, vamos a hacer lo siguiente:
$$ d(P,M)^2 = (2-\frac {y^2}{4})^2 + (1-y)^2 $$

Se deriva a ambos miembros (tener en cuenta que \( d(P,M)^2 \) es un número real):
$$ 16·d(P,M)^2 = y^4 - 32·y + 80 $$
$$ 0 = y^3 - 32 ⇒ y = 2 $$

Se retoma la ecuación de la parábola, para conocer el valor de abscisa que toma, cuando su ordenada es 2.
$$ y^2 = 4·x ⇒ 2^2 = 4·x ⇒ x = 1 $$

Cita
El punto buscado es \( P(1,2) \).



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