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Lugar geométrico, analítica, rectas
19-07-2013, 4:06 AM
Post: #1
Sea la recta \( ( r ) y = x + 1 \), donde \( P \) es un punto variable en \( ( r ) \). Sea \( A (1, 0) \).
Se sabe que \( ( s ) || O \vec x \) por \( P \). \( (t) || AP \) por \( O (0, 0) \).

Hallar el lugar geométrico de \( s∩t \).
19-07-2013, 4:13 AM
Post: #2
Graficamos lo que conocemos:


Ahora viene lo divertido: hallar las ecuaciones de todas las rectas y hallar las coordenadas de todos los puntos.

Se deduce de la recta \( ( r ) \) que: \( P (a, a+1) ⇒ ( s ) y = a + 1 \)

Calculamos la recta \( AP \) por la fórmula de "recta que pasa por dos puntos", pero sólo nos interesa su pendiente:
$$ m_{AP} = \frac {a+1}{a-1}, a≠1 $$

Entonces la recta \( (t) \) tendrá la misma pendiente y no tendrá término independiente en su ecuación:
$$ (t) y = \frac {a+1}{a-1}·x $$

Se me pedía el lugar geométrico de \( s ∩ t \) por lo que de ahora en más sólo me interesarán sus ecuaciones:

$$ (s) y = a + 1 ⇒ (s) a = y - 1 $$

Reemplazamos en la ecuación de \( (t) \).

$$ (t) y = \frac {a+1}{a-1}·x ⇒ (t) y = \frac {y - 1+1}{y - 1 -1}·x ⇒ (t) y = \frac {y}{y - 2}·x $$

Despejamos y obtenemos el lugar geométrico buscado, que es un producto de rectas:
$$ y·(y-x-2) = 0 $$

Se representa el lugar geométrico con color negro:


Archivo(s) adjunto(s): 4473075.png(70Kb) · 2338609.png(53Kb)

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