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Estudio de funciones logarítimicas en valor absoluto
20-06-2013, 0:32 AM
Post: #1
Estudiar las siguientes funciones:

$$ f(x) = \mbox{Ln} |x| $$
$$ g(x) = \mbox{Ln} |x - 2| $$
$$ h(x) = \mbox{Ln} |x^2-3·x+2| $$
20-06-2013, 0:42 AM
Post: #2
$$ f(x) = \mbox{Ln} |x| $$

Esta función es relativamente fácil de graficar. Sabemos que su raíz es: +1 y la función no existe para: 0. Expresado en forma matemática:
$$ S = \left\{ 1 \right\} $$
$$ D = ℝ - \left\{ 0 \right\} $$

Si estudiamos los límites laterales para el punto de no existencia tenemos que:
$$ \lim_{x \to 0^{±}} \mbox{Ln} |x| = -∞ $$
Como es igual por derecha y por izquierda, el límite existe en \( x = 0 \).

Ahora estudiamos los límites para los extremos:
$$ \lim_{x \to ±∞} \mbox{Ln} |x| = +∞ $$

Como es una función en valor absoluto, generalmente tiene un eje de simetría y en este caso es con respecto al eje \( O \vec y \)

Finalmente la graficamos:


Archivo(s) adjunto(s): 5068794.png(42Kb)

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20-06-2013, 0:45 AM
Post: #3
$$ g(x) = \mbox{Ln} |x - 2| $$

Ídem del anterior con un corrimiento de dos unidades hacia la derecha.

Ordenada en el origen:
$$ g(0) = \mbox{Ln} 2 $$

La graficamos:


Archivo(s) adjunto(s): 9287724.png(42Kb)

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20-06-2013, 0:56 AM
Post: #4
$$ h(x) = \mbox{Ln} |x^2-3·x+2| $$

Hallamos las raíces:
Aplicamos la definición de logaritmo y de valor absoluto: $$ \mbox{Ln} |x^2-3·x+2| ⇔ x^2-3·x+2 = ±1 $$

$$ x^2-3·x+2 = +1 → S = \left\{ \frac {3+\sqrt{5}}{2}, \frac {3-\sqrt{5}}{2} \right\} $$

$$ x^2-3·x+2 = -1 → S = ∅ $$
Digo que es conjunto vacío porque estamos trabajando en \( ℝ \).

Las raíces de la función son:
$$ S = \left\{ \frac {3+\sqrt{5}}{2}, \frac {3-\sqrt{5}}{2} \right\} $$

Ordenada en el origen:
$$ h(0) = \mbox{Ln} 2 $$

Hallamos los puntos de inexistencia (asíntotas verticales):
$$ x^2-3·x+2 = +1 → S = \left\{ 1, 2 \right\} $$

$$ D = ℝ - \left\{ 1, 2 \right\} $$


Archivo(s) adjunto(s): 9691851.png(49Kb)

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