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Indicar si el siguiente conjunto tiene: máximo, mínimo, supr
19-04-2013, 0:11 AM
Post: #1
Indicar si el siguiente conjunto tiene: máximo, mínimo, supremo e ínfimo.

$$ A = \left\{ x + \frac {1}{x} : \frac {1}{2} < x ≤ 2 \right\} $$
19-04-2013, 0:21 AM
Post: #2
Antes que nada vamos a trabajar con la expresión, que es algo molesta:
$$ x + \frac {1}{x} \Rightarrow \frac {x^2 + 1}{x} $$

Y ahora vamos a graficarla:



Pero sólo nos importa su comportamiento dentro del intervalo: \( (\frac {1}{2};2] \)



Como vemos, el punto crítico está en \( x = 1 \), y tiene un valor mínimo de 2.

Luego, cuando probamos con \( x = 2 \) ó \( x = \frac {1}{2} \) el resultado es \( \frac {5}{2} \).

Podemos afirmar que un conjunto equivalente a A es:
$$ A' = [2, \frac {5}{2}] $$

Ahora resulta mucho más fácil estudiarla.

Su supremo es: \( \frac {5}{2} \) que a la vez es máximo.
Su ínfimo es: \( 2 \) que a la vez es mínimo.

Archivo(s) adjunto(s): 5190943.png(28Kb) · 7666226.png(21Kb)

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