19-04-2013, 0:11 AM
Indicar si el siguiente conjunto tiene: máximo, mínimo, supremo e ínfimo.
$$ A = \left\{ x + \frac {1}{x} : \frac {1}{2} < x ≤ 2 \right\} $$
$$ A = \left\{ x + \frac {1}{x} : \frac {1}{2} < x ≤ 2 \right\} $$
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19-04-2013, 0:11 AM
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19-04-2013, 0:21 AM
Antes que nada vamos a trabajar con la expresión, que es algo molesta:
$$ x + \frac {1}{x} \Rightarrow \frac {x^2 + 1}{x} $$ Y ahora vamos a graficarla:  Pero sólo nos importa su comportamiento dentro del intervalo: \( (\frac {1}{2};2] \)  Como vemos, el punto crítico está en \( x = 1 \), y tiene un valor mínimo de 2. Luego, cuando probamos con \( x = 2 \) ó \( x = \frac {1}{2} \) el resultado es \( \frac {5}{2} \). Podemos afirmar que un conjunto equivalente a A es: $$ A' = [2, \frac {5}{2}] $$ Ahora resulta mucho más fácil estudiarla. Su supremo es: \( \frac {5}{2} \) que a la vez es máximo. Su ínfimo es: \( 2 \) que a la vez es mínimo. |
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