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Estudiar funciones racionales
06-03-2013, 10:56 PM (Este mensaje fue modificado por última vez por: marcos364 - Miércoles, 06-03-2013, 10:57 PM.)
Post: #1
1. $$ f(x) = \frac {1}{(x-2)·(x+1)·(x+3)} $$
2. $$ f(x) = \frac {2·x+1}{x^2 - 9} $$
3. $$ f(x) = \frac {2·x+1}{(x-4)·(x-2)·(x+3)} $$
4. $$ f(x) = \frac {x+6}{x^2 - x - 20} $$
5. $$ f(x) = \frac {1}{x^2} $$
6. $$ f(x) = \frac {4·x - 2}{4·x^2 - 6·x + 8·(x+3)} $$
06-03-2013, 11:03 PM
Post: #2
Primera:
$$ f(x) = \frac {1}{(x-2)·(x+1)·(x+3)} $$

Lo primero sería hallar las raíces, pero la función no corta el eje \( x \), por lo que no las tiene, esto lo sé ya que no hay ninguna ecuación en el numerador.

Estudio de la existencia:
Igualamos a 0 todo el denominador:
$$ (x-2)·(x+1)·(x+3) = 0 $$
Por la propiedad Hankeliana, podemos igualar cada factor a 0.
$$ x - 2 = 0 ⇒ x = 2 $$
$$ x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 $$
$$ x + 3 = 0 ⇒ x = -3 $$

Lo que hicimos fue hallar todo los número que hacían que el denominador fuera 0, pero si recordamos: el denominador de una fracción nunca puede valer 0. Por lo que el dominio de la función es: \( D = ℝ - \left\{ -3,-1,2 \right\} \).

Una representación gráfica de la función es:


Como podemos ver, hay asíntotas en:
$$ x = 2 $$
$$ x = -3 $$
$$ x = 1 $$

Son los mismos números que hemos quitado del dominio.

También tiene una asíntota horizontal en \( y = 0 \).

Archivo(s) adjunto(s): 8493747.png(49Kb)

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06-03-2013, 11:11 PM
Post: #3
Segunda:

$$ f(x) = \frac {2·x+1}{x^2 - 9} $$

Esta función sí tiene raíces, por lo que vamos a hallarlas, esto lo hacemos igualando el numerador a 0.

$$ 2·x+1 = 0 ⇒ 2·x = - 1 ⇒ x = \frac {-1}{2} $$

Esto significa que va a corta el eje \( x \) en ese punto.

Estudio de la existencia:
Se hace igualando el denominador a 0:
$$ x^2 - 9 = 0 ⇒ x^2 = 9 ⇒ x = ± \sqrt {9} ⇒ x = ± 3 $$

Como hicimos en el caso anterior, restamos estos números al dominio, allí habrán asíntotas.

$$ D = ℝ - \left\{ -3, +3 \right\} $$

La gráfica:


Este tema siempre se da antes de dar límites, por lo cual no voy a explicar cómo se calcula el límite de la función, simplemente voy a decir que la función tiene otra asíntota horizontal en \( y = 0 \), como bien se puede apreciar en el gráfico.

Archivo(s) adjunto(s): 0012777.png(51Kb)

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06-03-2013, 11:35 PM
Post: #4
Tercera:
$$ f(x) = \frac {2·x+1}{(x-4)·(x-2)·(x+3)} $$

Raíces:
$$ 2·x+1 = 0 ⇒ 2·x = - 1 ⇒ x = \frac {-1}{2} $$

Estudio de la existencia:
$$ (x-4)·(x-2)·(x+3) = 0 $$
$$ x - 4 = 0 ⇒ x = 4 $$
$$ x - 2 = 0 ⇒ x = 2 $$
$$ x + 3 = 0 ⇒ x = - 3 $$

Asíntotas:
· Vertical en: \( x=4, x=2, x=-3 \).
· Horizontal en: \( y = 0 \).

Gráfica:

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06-03-2013, 11:39 PM
Post: #5
Cuarta:
$$ f(x) = \frac {x+6}{x^2 - x - 20} $$

Raíces:
$$ x+6 = 0 ⇒ x = -6 $$

Existencia:
$$ x^2 - x - 20 = 0 ⇒ x=5, x=-4 $$

Asíntotas:
· Vertical en: \( x=5, x=-4 \)
· Horizontal en: \( y = 0 \)

Gráfica:

Archivo(s) adjunto(s): 4141079.png(49Kb)

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06-03-2013, 11:41 PM
Post: #6
Quinta:
$$ f(x) = \frac {1}{x^2} $$

Raíces:
No tiene.

Existencia:
$$ x^2 = 0 ⇒ x = 0 (doble) $$

Asíntotas:
Son los propios ejes.

Gráfica:

Archivo(s) adjunto(s): 4734298.png(38Kb)

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06-03-2013, 11:46 PM
Post: #7
Sexta:
$$ f(x) = \frac {4·x - 2}{4·x^2 - 6·x + 8·(x+3)} $$

Raíces:
$$ 4·x - 2 = 0 ⇒ 4·x = 2 ⇒ x = \frac {2}{4} ⇒ x = \frac {1}{2} $$

Existencia:
$$ 4·x^2 - 6·x + 8·(x+3) = 0 ⇒ 4·x^2 - 6·x + 8·x+ 24 = 0 ⇒ 4·x^2 + 2·x+ 24 = 0 ⇒ $$ no tiene raíces reales.

Gráfica:

Archivo(s) adjunto(s): 6475196.png(28Kb)

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