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Estudiar funciones racionales
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1. $$ f(x) = \frac {1}{(x-2)·(x+1)·(x+3)} $$
2. $$ f(x) = \frac {2·x+1}{x^2 - 9} $$
3. $$ f(x) = \frac {2·x+1}{(x-4)·(x-2)·(x+3)} $$
4. $$ f(x) = \frac {x+6}{x^2 - x - 20} $$
5. $$ f(x) = \frac {1}{x^2} $$
6. $$ f(x) = \frac {4·x - 2}{4·x^2 - 6·x + 8·(x+3)} $$
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Primera:
$$ f(x) = \frac {1}{(x-2)·(x+1)·(x+3)} $$
Lo primero sería hallar las raíces, pero la función no corta el eje \( x \), por lo que no las tiene, esto lo sé ya que no hay ninguna ecuación en el numerador.
Estudio de la existencia:
Igualamos a 0 todo el denominador:
$$ (x-2)·(x+1)·(x+3) = 0 $$
Por la propiedad Hankeliana, podemos igualar cada factor a 0.
$$ x - 2 = 0 ⇒ x = 2 $$
$$ x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 $$
$$ x + 3 = 0 ⇒ x = -3 $$
Lo que hicimos fue hallar todo los número que hacían que el denominador fuera 0, pero si recordamos: el denominador de una fracción nunca puede valer 0. Por lo que el dominio de la función es: \( D = ℝ - \left\{ -3,-1,2 \right\} \).
Una representación gráfica de la función es:
Como podemos ver, hay asíntotas en:
$$ x = 2 $$
$$ x = -3 $$
$$ x = 1 $$
Son los mismos números que hemos quitado del dominio.
También tiene una asíntota horizontal en \( y = 0 \).
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Segunda:
$$ f(x) = \frac {2·x+1}{x^2 - 9} $$
Esta función sí tiene raíces, por lo que vamos a hallarlas, esto lo hacemos igualando el numerador a 0.
$$ 2·x+1 = 0 ⇒ 2·x = - 1 ⇒ x = \frac {-1}{2} $$
Esto significa que va a corta el eje \( x \) en ese punto.
Estudio de la existencia:
Se hace igualando el denominador a 0:
$$ x^2 - 9 = 0 ⇒ x^2 = 9 ⇒ x = ± \sqrt {9} ⇒ x = ± 3 $$
Como hicimos en el caso anterior, restamos estos números al dominio, allí habrán asíntotas.
$$ D = ℝ - \left\{ -3, +3 \right\} $$
La gráfica:
Este tema siempre se da antes de dar límites, por lo cual no voy a explicar cómo se calcula el límite de la función, simplemente voy a decir que la función tiene otra asíntota horizontal en \( y = 0 \), como bien se puede apreciar en el gráfico.
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Tercera:
$$ f(x) = \frac {2·x+1}{(x-4)·(x-2)·(x+3)} $$
Raíces:
$$ 2·x+1 = 0 ⇒ 2·x = - 1 ⇒ x = \frac {-1}{2} $$
Estudio de la existencia:
$$ (x-4)·(x-2)·(x+3) = 0 $$
$$ x - 4 = 0 ⇒ x = 4 $$
$$ x - 2 = 0 ⇒ x = 2 $$
$$ x + 3 = 0 ⇒ x = - 3 $$
Asíntotas:
· Vertical en: \( x=4, x=2, x=-3 \).
· Horizontal en: \( y = 0 \).
Gráfica:
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Cuarta:
$$ f(x) = \frac {x+6}{x^2 - x - 20} $$
Raíces:
$$ x+6 = 0 ⇒ x = -6 $$
Existencia:
$$ x^2 - x - 20 = 0 ⇒ x=5, x=-4 $$
Asíntotas:
· Vertical en: \( x=5, x=-4 \)
· Horizontal en: \( y = 0 \)
Gráfica:
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Quinta:
$$ f(x) = \frac {1}{x^2} $$
Raíces:
No tiene.
Existencia:
$$ x^2 = 0 ⇒ x = 0 (doble) $$
Asíntotas:
Son los propios ejes.
Gráfica:
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Sexta:
$$ f(x) = \frac {4·x - 2}{4·x^2 - 6·x + 8·(x+3)} $$
Raíces:
$$ 4·x - 2 = 0 ⇒ 4·x = 2 ⇒ x = \frac {2}{4} ⇒ x = \frac {1}{2} $$
Existencia:
$$ 4·x^2 - 6·x + 8·(x+3) = 0 ⇒ 4·x^2 - 6·x + 8·x+ 24 = 0 ⇒ 4·x^2 + 2·x+ 24 = 0 ⇒ $$ no tiene raíces reales.
Gráfica:
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