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Ejercicios de inducción completa
16-02-2013, 4:06 PM
Post: #1
a. Demostrar por inducción completa la siguiente igualdad:
$$ 0 + 6 + 14 + ... + (n^2 + 5·n) = \frac {n·(n+1)·(n+8)}{3} $$

b. Calcular: \( 0 + 6 + 14 + ... + 204 \).
c. Resolver: \( 0 + 6 + 14 + ... + (n^2 + 5·n) = n·(9·n + 32) \).
16-02-2013, 4:13 PM
Post: #2
Demostración por inducción completa:

$$ 0 + 6 + 14 + ... + (n^2 + 5·n) = \frac {n·(n+1)·(n+8)}{3} $$

Base inductiva:
\( n = 0 \)
$$ (0^2 + 5·0) = \frac {0·(0+1)·(0+8)}{3} $$
$$ 0 = 0 $$

Hipótesis:
\( n = h \)
$$ 0 + 6 + 14 + ... + (h^2 + 5·h) = \frac {h·(h+1)·(h+8)}{3} $$

Tesis:
\( n = (h+1) \)
$$ 0 + 6 + 14 + ... + [(h+1)^2 + 5·(h+1)] = \frac {(h+1)·[(h+1)+1]·[(h+1)+8]}{3} $$

Demostración:
$$ \frac {h·(h+1)·(h+8)}{3} + [(h+1)^2 + 5·(h+1)] = \frac {(h+1)·[(h+1)+1]·[(h+1)+8]}{3} $$
$$ \frac {h^3 + 12·h^2 + 29·h + 18}{3} = \frac {h^3 + 12·h^2 + 29·h + 18}{3} $$

¿No estás de acuerdo con lo que escribí? ¡por favor explícame tu punto de vista! :)

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16-02-2013, 6:37 PM
Post: #3
Quote
Calcular: \( 0 + 6 + 14 + ... + 204 \).


Lo podemos calcular utilizando la fórmula que acabamos de demostrar: \( \frac {n·(n+1)·(n+8)}{3} \)
Para esto, antes, debemos conocer el valor de \( n \).

Para conocer el valor de vamos a utilizar la expresión que se nos dio: \( (n^2 + 5·n) \).

Explicación:
Para todos los números naturales, les corresponde otro natural, o sea, es una función. Para el primer número natural: \( n = 0 \), nos dá:
$$ \frac {0·(0+1)·(0+8)}{3} = 0 $$

Para \( n = 1 \):
$$ \frac {1·(1+1)·(1+8)}{3} = 6 $$

La cosa es: ¿qué valor de \( n \) nos da como resultado 204?

Para esto, igualamos la expresión a 204:
$$ n^2 + 5·n = 204 $$

Resolviendo llegamos al siguiente conjunto solución:
$$ S = \left\{ 12, -17\right\} $$

Debemos descartar el -17 porque estamos trabajando con número naturales (positivos).

Por lo que podemos calcularlo utilizando la fórmula de arriba:
\( n = 12 \)
$$ \frac {12·(12+1)·(12+8)}{3} = 1.040 $$

Y todo esto lo podemos expresar de una forma más formal:
$$ 0 + 6 + 14 + ... + 204 = \sum_{i=0}^{12} (i^2 + 5·i) = 1.040 $$

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07-04-2013, 4:17 AM
Post: #4
Cita (marcos364)
c. Resolver: 0+6+14+...+(n2+5⋅n)=n⋅(9⋅n+32)

Sabemos que:
$$ 0 + 6 + 14 + ... + (n^2 + 5·n) = \frac {n·(n+1)·(n+8)}{3} $$
Por lo que sustituimos en la letra del problema, resultando en:
$$ \frac {n·(n+1)·(n+8)}{3} = n·(9·n+32) $$
Debemos resolver la anterior ecuación.
$$ n·(n+1)·(n+8) = 3·n·(9·n+32) $$
$$ (n+1)·(n+8) = 3·(9·n+32) $$
$$ n^2 - 18·n - 88 = 0 $$

$$ S = \left\{ 0, 22 \right\} $$

Recordemos que estamos trabajando con números naturales, por lo que \( -4 \) no puede ser solución.

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