Universo Científico

Versión completa: Ejercicios de inducción completa
Usted se encuentra viendo este tópico en una versión reducida de contenido. Ver la versión completa con un formato apropiado.


Ejercicios de inducción completa
a. Demostrar por inducción completa la siguiente igualdad:
$$ 0 + 6 + 14 + ... + (n^2 + 5·n) = \frac {n·(n+1)·(n+8)}{3} $$

b. Calcular: \( 0 + 6 + 14 + ... + 204 \).
c. Resolver: \( 0 + 6 + 14 + ... + (n^2 + 5·n) = n·(9·n + 32) \).
Demostración por inducción completa:

$$ 0 + 6 + 14 + ... + (n^2 + 5·n) = \frac {n·(n+1)·(n+8)}{3} $$

Base inductiva:
\( n = 0 \)
$$ (0^2 + 5·0) = \frac {0·(0+1)·(0+8)}{3} $$
$$ 0 = 0 $$

Hipótesis:
\( n = h \)
$$ 0 + 6 + 14 + ... + (h^2 + 5·h) = \frac {h·(h+1)·(h+8)}{3} $$

Tesis:
\( n = (h+1) \)
$$ 0 + 6 + 14 + ... + [(h+1)^2 + 5·(h+1)] = \frac {(h+1)·[(h+1)+1]·[(h+1)+8]}{3} $$

Demostración:
$$ \frac {h·(h+1)·(h+8)}{3} + [(h+1)^2 + 5·(h+1)] = \frac {(h+1)·[(h+1)+1]·[(h+1)+8]}{3} $$
$$ \frac {h^3 + 12·h^2 + 29·h + 18}{3} = \frac {h^3 + 12·h^2 + 29·h + 18}{3} $$
Quote
Calcular: \( 0 + 6 + 14 + ... + 204 \).


Lo podemos calcular utilizando la fórmula que acabamos de demostrar: \( \frac {n·(n+1)·(n+8)}{3} \)
Para esto, antes, debemos conocer el valor de \( n \).

Para conocer el valor de vamos a utilizar la expresión que se nos dio: \( (n^2 + 5·n) \).

Explicación:
Para todos los números naturales, les corresponde otro natural, o sea, es una función. Para el primer número natural: \( n = 0 \), nos dá:
$$ \frac {0·(0+1)·(0+8)}{3} = 0 $$

Para \( n = 1 \):
$$ \frac {1·(1+1)·(1+8)}{3} = 6 $$

La cosa es: ¿qué valor de \( n \) nos da como resultado 204?

Para esto, igualamos la expresión a 204:
$$ n^2 + 5·n = 204 $$

Resolviendo llegamos al siguiente conjunto solución:
$$ S = \left\{ 12, -17\right\} $$

Debemos descartar el -17 porque estamos trabajando con número naturales (positivos).

Por lo que podemos calcularlo utilizando la fórmula de arriba:
\( n = 12 \)
$$ \frac {12·(12+1)·(12+8)}{3} = 1.040 $$

Y todo esto lo podemos expresar de una forma más formal:
$$ 0 + 6 + 14 + ... + 204 = \sum_{i=0}^{12} (i^2 + 5·i) = 1.040 $$
Cita (marcos364)
c. Resolver: 0+6+14+...+(n2+5⋅n)=n⋅(9⋅n+32)

Sabemos que:
$$ 0 + 6 + 14 + ... + (n^2 + 5·n) = \frac {n·(n+1)·(n+8)}{3} $$
Por lo que sustituimos en la letra del problema, resultando en:
$$ \frac {n·(n+1)·(n+8)}{3} = n·(9·n+32) $$
Debemos resolver la anterior ecuación.
$$ n·(n+1)·(n+8) = 3·n·(9·n+32) $$
$$ (n+1)·(n+8) = 3·(9·n+32) $$
$$ n^2 - 18·n - 88 = 0 $$

$$ S = \left\{ 0, 22 \right\} $$

Recordemos que estamos trabajando con números naturales, por lo que \( -4 \) no puede ser solución.


Lo sentimos, pero sólo los usuarios registrados pueden tener acceso a este contenido. Si aún no eres usuario, puedes registrarte haciendo click aquí, y si ya lo eres, simplemente debes loguearte.