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| Foro » Departamento de Matemática » Problemas resueltos » Ejercicios de inducción completa |
| Ejercicios de inducción completa |
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16-02-2013, 4:06 PM
Post: #1
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a. Demostrar por inducción completa la siguiente igualdad:
$$ 0 + 6 + 14 + ... + (n^2 + 5·n) = \frac {n·(n+1)·(n+8)}{3} $$ b. Calcular: \( 0 + 6 + 14 + ... + 204 \). c. Resolver: \( 0 + 6 + 14 + ... + (n^2 + 5·n) = n·(9·n + 32) \). |
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16-02-2013, 4:13 PM
Post: #2
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Demostración por inducción completa:
$$ 0 + 6 + 14 + ... + (n^2 + 5·n) = \frac {n·(n+1)·(n+8)}{3} $$ Base inductiva: \( n = 0 \) $$ (0^2 + 5·0) = \frac {0·(0+1)·(0+8)}{3} $$ $$ 0 = 0 $$ Hipótesis: \( n = h \) $$ 0 + 6 + 14 + ... + (h^2 + 5·h) = \frac {h·(h+1)·(h+8)}{3} $$ Tesis: \( n = (h+1) \) $$ 0 + 6 + 14 + ... + [(h+1)^2 + 5·(h+1)] = \frac {(h+1)·[(h+1)+1]·[(h+1)+8]}{3} $$ Demostración: $$ \frac {h·(h+1)·(h+8)}{3} + [(h+1)^2 + 5·(h+1)] = \frac {(h+1)·[(h+1)+1]·[(h+1)+8]}{3} $$ $$ \frac {h^3 + 12·h^2 + 29·h + 18}{3} = \frac {h^3 + 12·h^2 + 29·h + 18}{3} $$ ¿No estás de acuerdo con lo que escribí? ¡por favor explícame tu punto de vista! :) · No se resuelven problemas ni se responde a consultas sobre matemática, física ni química por mensaje privado. · Si utilizas material de este sitio, no olvides citar la fuente. · Si te sirvió lo que dije, puedes agradecerme aumentado mi reputación. · Si ven que tengo una falta de ortografía un hechicero lo hizo. |
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16-02-2013, 6:37 PM
Post: #3
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Quote Calcular: \( 0 + 6 + 14 + ... + 204 \). Lo podemos calcular utilizando la fórmula que acabamos de demostrar: \( \frac {n·(n+1)·(n+8)}{3} \) Para esto, antes, debemos conocer el valor de \( n \). Para conocer el valor de vamos a utilizar la expresión que se nos dio: \( (n^2 + 5·n) \). Explicación: Para todos los números naturales, les corresponde otro natural, o sea, es una función. Para el primer número natural: \( n = 0 \), nos dá: $$ \frac {0·(0+1)·(0+8)}{3} = 0 $$ Para \( n = 1 \): $$ \frac {1·(1+1)·(1+8)}{3} = 6 $$ La cosa es: ¿qué valor de \( n \) nos da como resultado 204? Para esto, igualamos la expresión a 204: $$ n^2 + 5·n = 204 $$ Resolviendo llegamos al siguiente conjunto solución: $$ S = \left\{ 12, -17\right\} $$ Debemos descartar el -17 porque estamos trabajando con número naturales (positivos). Por lo que podemos calcularlo utilizando la fórmula de arriba: \( n = 12 \) $$ \frac {12·(12+1)·(12+8)}{3} = 1.040 $$ Y todo esto lo podemos expresar de una forma más formal: $$ 0 + 6 + 14 + ... + 204 = \sum_{i=0}^{12} (i^2 + 5·i) = 1.040 $$ ¿No estás de acuerdo con lo que escribí? ¡por favor explícame tu punto de vista! :) · No se resuelven problemas ni se responde a consultas sobre matemática, física ni química por mensaje privado. · Si utilizas material de este sitio, no olvides citar la fuente. · Si te sirvió lo que dije, puedes agradecerme aumentado mi reputación. · Si ven que tengo una falta de ortografía un hechicero lo hizo. |
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07-04-2013, 4:17 AM
Post: #4
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Cita (marcos364) c. Resolver: 0+6+14+...+(n2+5⋅n)=n⋅(9⋅n+32) Sabemos que: $$ 0 + 6 + 14 + ... + (n^2 + 5·n) = \frac {n·(n+1)·(n+8)}{3} $$ Por lo que sustituimos en la letra del problema, resultando en: $$ \frac {n·(n+1)·(n+8)}{3} = n·(9·n+32) $$ Debemos resolver la anterior ecuación. $$ n·(n+1)·(n+8) = 3·n·(9·n+32) $$ $$ (n+1)·(n+8) = 3·(9·n+32) $$ $$ n^2 - 18·n - 88 = 0 $$ $$ S = \left\{ 0, 22 \right\} $$ Recordemos que estamos trabajando con números naturales, por lo que \( -4 \) no puede ser solución. ¿No estás de acuerdo con lo que escribí? ¡por favor explícame tu punto de vista! :) · No se resuelven problemas ni se responde a consultas sobre matemática, física ni química por mensaje privado. · Si utilizas material de este sitio, no olvides citar la fuente. · Si te sirvió lo que dije, puedes agradecerme aumentado mi reputación. · Si ven que tengo una falta de ortografía un hechicero lo hizo. |
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