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Sumatoria de potencias de unidad imaginaria
10-02-2013, 0:25 AM
Post: #1
Determinar los valores de \( ( x,y ) ∈ ℝ \) que satisfagan la siguiente igualdad:

$$ \sum_{k=0}^{100} i^k = x + i·y $$
10-02-2013, 0:36 AM
Post: #2
No es difícil pero hay que estar atento.

Sigamos el siguiente razonamiento: los números del 1 al 100 son 100, mientras que los números del 0 al 100 son 101.

Veamos algo curioso de la potenciación de la unidad imaginaria:
$$ i^1 = i $$
$$ i^0 = 1 $$
$$ i^2 = -1 $$
$$ i^3 = -i $$

Si seguimos con la potenciación, por ejemplo para \( i^4 = i \), o sea, se repite nuevamente esta secuencia.

La pregunta del millón: ¿cuántas veces se repite esta secuencia completa dentro del rango de la sumatoria (101 potenciaciones)? La respuesta es 25 y una más, o sea, se repite la serie completa 25 veces, y otra que queda sola la primera de la secuencia, o sea, \( i^{100}=1 \)

Hagamos esta tablia para entender mejor:


Y como vemos \( i \) y \( -i \) son opuestos, por lo que si los sumo me da \( 0 \). Luego, tengo \( 26·1 \) y \( 25·(-1) \), lo cual me da \( +1 \).

Por lo que:
$$ \sum_{k=0}^{100} i^k = 1 $$

De lo que deducimos los valores de \(x\) e \( y \):

$$ S = \left\{ 1, 0 \right\} $$

Sé que el razonamiento es una generalización y es muy útil, pero tal vez cueste entenderla. Cualquier cosa pregunten. ;)

Archivo(s) adjunto(s): 8328875.png(6Kb)

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