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| Foro Departamento de Matemática Problemas resueltos Sumatoria de potencias de unidad imaginaria |
| Sumatoria de potencias de unidad imaginaria |
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10-02-2013, 0:25 AM
Post: #1
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Determinar los valores de \( ( x,y ) ∈ ℝ \) que satisfagan la siguiente igualdad:
$$ \sum_{k=0}^{100} i^k = x + i·y $$ |
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10-02-2013, 0:36 AM
Post: #2
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No es difícil pero hay que estar atento.
Sigamos el siguiente razonamiento: los números del 1 al 100 son 100, mientras que los números del 0 al 100 son 101. Veamos algo curioso de la potenciación de la unidad imaginaria: $$ i^1 = i $$ $$ i^0 = 1 $$ $$ i^2 = -1 $$ $$ i^3 = -i $$ Si seguimos con la potenciación, por ejemplo para \( i^4 = i \), o sea, se repite nuevamente esta secuencia. La pregunta del millón: ¿cuántas veces se repite esta secuencia completa dentro del rango de la sumatoria (101 potenciaciones)? La respuesta es 25 y una más, o sea, se repite la serie completa 25 veces, y otra que queda sola la primera de la secuencia, o sea, \( i^{100}=1 \) Hagamos esta tablia para entender mejor:  Y como vemos \( i \) y \( -i \) son opuestos, por lo que si los sumo me da \( 0 \). Luego, tengo \( 26·1 \) y \( 25·(-1) \), lo cual me da \( +1 \). Por lo que: $$ \sum_{k=0}^{100} i^k = 1 $$ De lo que deducimos los valores de \(x\) e \( y \): $$ S = \left\{ 1, 0 \right\} $$ Sé que el razonamiento es una generalización y es muy útil, pero tal vez cueste entenderla. Cualquier cosa pregunten.  ¿No estás de acuerdo con lo que escribí? ¡por favor explícame tu punto de vista! :) · No se resuelven problemas ni se responde a consultas sobre matemática, física ni química por mensaje privado. · Si utilizas material de este sitio, no olvides citar la fuente. · Si te sirvió lo que dije, puedes agradecerme aumentado mi reputación. · Si ven que tengo una falta de ortografía un hechicero lo hizo. |
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