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Demostrar por i. completa, variable en exponente, múltiplo
25-11-2012, 10:27 PM
Post: #1
Determinar el número natural a partir del cual es válida la siguiente afirmación y demostrarla por inducción completa:

$$ 7^{4·n-1}-3=\dot{10} $$
15-02-2013, 2:13 PM
Post: #2
Base inductiva:
\( n = 0 \)
$$ 7^{4·0-1}-3 = \dot{10} $$
$$ 7^{-1}-3 = \dot{10} $$
$$ \frac {1}{7} -3 = \dot{10} $$
$$ \frac {1-21}{7} = \dot{10} $$
$$ \frac {-20}{7} ≠ \dot{10} $$

\( n = 1 \)
$$ 7^{4·1-1}-3 = \dot{10} $$
$$ 7^{4-1}-3 = \dot{10} $$
$$ 7^{3}-3 = \dot{10} $$
$$ 343 - 3 = \dot{10} $$
$$ 340 = \dot{10} $$

Se cumple \( ∀n∈ℕ;n≥1 \).

Hipótesis:
\( n = h \)
$$ 7^{4·h-1}-3=\dot{10} $$

Tesis:
\( n = (h+1) \)
$$ 7^{4·(h+1)-1}-3=\dot{10} ⇒ 7^{4·h+4-1}-3=\dot{10} ⇒ 7^{4·h+3}-3=\dot{10} $$

Demostración:
Partimos de la hipótesis y despejamos:
$$ 7^{4·h-1}-3=\dot{10} ⇒ 7^{4·h-1}= \dot{10} + 3 $$
Seguimos con la tesis y aplicamos propiedades de potencias para que quede algo parecido a la hipótesis:
$$ 7^{4·h-1}·7^{4}-3=\dot{10} $$

Sustituimos la hipótesis en la tesis:
$$ (\dot{10} + 3)·7^{4}-3=\dot{10} $$
$$ \dot{10} + 3·7^{4}-3=\dot{10} $$
$$ \dot{10} + 3·2.401-3=\dot{10} $$
$$ \dot{10} + 7.203-3=\dot{10} $$
$$ \dot{10} + 7.200=\dot{10} $$
$$ \dot{10} + \dot{10} =\dot{10} $$
$$ \dot{10} = \dot{10} $$

Lo que hice al final fue plantear esto: 7.200 es un múltiplo de 10, por lo que escribo \( \dot{10} \). Y luego, sabemos que la suma de dos múltiplos de 10 nos va a dar un múltiplo de 10.

Llegamos a la hipótesis, por lo que queda demostrado.

¿No estás de acuerdo con lo que escribí? ¡por favor explícame tu punto de vista! :)

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