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| Foro » Departamento de Matemática » Problemas resueltos » Demostrar por i. completa, variable en exponente, múltiplo |
| Demostrar por i. completa, variable en exponente, múltiplo |
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25-11-2012, 10:27 PM
Post: #1
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Determinar el número natural a partir del cual es válida la siguiente afirmación y demostrarla por inducción completa:
$$ 7^{4·n-1}-3=\dot{10} $$ |
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15-02-2013, 2:13 PM
Post: #2
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Base inductiva:
\( n = 0 \) $$ 7^{4·0-1}-3 = \dot{10} $$ $$ 7^{-1}-3 = \dot{10} $$ $$ \frac {1}{7} -3 = \dot{10} $$ $$ \frac {1-21}{7} = \dot{10} $$ $$ \frac {-20}{7} ≠ \dot{10} $$ \( n = 1 \) $$ 7^{4·1-1}-3 = \dot{10} $$ $$ 7^{4-1}-3 = \dot{10} $$ $$ 7^{3}-3 = \dot{10} $$ $$ 343 - 3 = \dot{10} $$ $$ 340 = \dot{10} $$ Se cumple \( ∀n∈ℕ;n≥1 \). Hipótesis: \( n = h \) $$ 7^{4·h-1}-3=\dot{10} $$ Tesis: \( n = (h+1) \) $$ 7^{4·(h+1)-1}-3=\dot{10} ⇒ 7^{4·h+4-1}-3=\dot{10} ⇒ 7^{4·h+3}-3=\dot{10} $$ Demostración: Partimos de la hipótesis y despejamos: $$ 7^{4·h-1}-3=\dot{10} ⇒ 7^{4·h-1}= \dot{10} + 3 $$ Seguimos con la tesis y aplicamos propiedades de potencias para que quede algo parecido a la hipótesis: $$ 7^{4·h-1}·7^{4}-3=\dot{10} $$ Sustituimos la hipótesis en la tesis: $$ (\dot{10} + 3)·7^{4}-3=\dot{10} $$ $$ \dot{10} + 3·7^{4}-3=\dot{10} $$ $$ \dot{10} + 3·2.401-3=\dot{10} $$ $$ \dot{10} + 7.203-3=\dot{10} $$ $$ \dot{10} + 7.200=\dot{10} $$ $$ \dot{10} + \dot{10} =\dot{10} $$ $$ \dot{10} = \dot{10} $$ Lo que hice al final fue plantear esto: 7.200 es un múltiplo de 10, por lo que escribo \( \dot{10} \). Y luego, sabemos que la suma de dos múltiplos de 10 nos va a dar un múltiplo de 10. Llegamos a la hipótesis, por lo que queda demostrado. ¿No estás de acuerdo con lo que escribí? ¡por favor explícame tu punto de vista! :) · No se resuelven problemas ni se responde a consultas sobre matemática, física ni química por mensaje privado. · Si utilizas material de este sitio, no olvides citar la fuente. · Si te sirvió lo que dije, puedes agradecerme aumentado mi reputación. · Si ven que tengo una falta de ortografía un hechicero lo hizo. |
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