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| Foro Departamento de Matemática Problemas resueltos Demostrar por i. completa la suma de los primeros n términos |
| Demostrar por i. completa la suma de los primeros n términos |
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08-11-2012, 9:12 PM
Post: #1
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Demostrar por inducción completa: suma de los primeros \( n \) términos.
$$ 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac {n·(n + 1)}{2}, ∀n∈ℕ $$ |
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08-11-2012, 9:25 PM
Post: #2
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Base inductiva:
Sustituimos la siguiente igualdad en la fórmula para comprobar que se cumple para el primer número natural. \( n = 0 \) $$ \frac {n·(n + 1)}{2} ⇒ \frac {0·(0 + 1)}{2} ⇒ 0 = 0 $$ Se verifica. Hipótesis: Digo que se cumple para un número cualquiera. \( n = k \) $$ 1 + 2 + 3 + ... + k = \frac {k·(k + 1)}{2} = \frac {k^2 + k}{2} $$ Quote · Digo que \( n = k \) como podría decir que \( n = h \), es elegir una letra cualquiera. Tesis: Digo que se cumple para el siguiente de un número cualquiera. \( n = (k + 1) \) $$ 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \frac {(k + 1)·[(k + 1) + 1]}{2} = \frac {k^2 + 3·k + 2}{2} $$ Demostración: $$ \frac {k^2 + k}{2} + (k + 1) = \frac {k^2 + 3·k + 2}{2} $$ $$ \frac {k^2 + k + 2·(k + 1)}{2} = \frac {k^2 + 3·k + 2}{2} $$ $$ \frac {k^2 + k + 2·k + 2}{2} = \frac {k^2 + 3·k + 2}{2} $$ $$ \frac {k^2 + 3·k + 2}{2} = \frac {k^2 + 3·k + 2}{2} $$ Como al final quedaron iguales, decimos que la fórmula es válida para todos los naturales. ¿No estás de acuerdo con lo que escribí? ¡por favor explícame tu punto de vista! :) · No se resuelven problemas ni se responde a consultas sobre matemática, física ni química por mensaje privado. · Si utilizas material de este sitio, no olvides citar la fuente. · Si te sirvió lo que dije, puedes agradecerme aumentado mi reputación. · Si ven que tengo una falta de ortografía un hechicero lo hizo. |
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