Universo Científico :: Demostrar por i. completa la suma de los primeros n términos

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Demostrar por i. completa la suma de los primeros n términos

Demostrar por inducción completa: suma de los primeros $ n $ términos.

$$ 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac {n·(n + 1)}{2}, ∀n∈ℕ $$

Base inductiva:
Sustituimos la siguiente igualdad en la fórmula para comprobar que se cumple para el primer número natural.
$ n = 0 $

$$ \frac {n·(n + 1)}{2} ⇒ \frac {0·(0 + 1)}{2} ⇒ 0 = 0 $$

Se verifica.

Hipótesis:
Digo que se cumple para un número cualquiera.
$ n = k $

$$ 1 + 2 + 3 + ... + k = \frac {k·(k + 1)}{2} = \frac {k^2 + k}{2} $$

Quote

· Digo que $ n = k $ como podría decir que $ n = h $, es elegir una letra cualquiera.

Tesis:
Digo que se cumple para el siguiente de un número cualquiera.
$ n = (k + 1) $

$$ 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \frac {(k + 1)·[(k + 1) + 1]}{2} = \frac {k^2 + 3·k + 2}{2} $$

Demostración:
$$ \frac {k^2 + k}{2} + (k + 1) = \frac {k^2 + 3·k + 2}{2} $$
$$ \frac {k^2 + k + 2·(k + 1)}{2} = \frac {k^2 + 3·k + 2}{2} $$
$$ \frac {k^2 + k + 2·k + 2}{2} = \frac {k^2 + 3·k + 2}{2} $$
$$ \frac {k^2 + 3·k + 2}{2} = \frac {k^2 + 3·k + 2}{2} $$

Como al final quedaron iguales, decimos que la fórmula es válida para todos los naturales.

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marcos364

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