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concavidad y convexidad de la funcion
07-11-2014, 7:39 PM
Post: #1
Hola atodos:
Alguien
me podria ayudar a resolver este ejercicio, indicandome el paso a paso?

Hallar
los intervalos de concavidad y convexidad de la funcion siguiente:

09-11-2014, 5:36 PM
Post: #2
Hola, y bienvenido al foro.

Para estudiar la concavidad y la convexidad de una función, es necesario estudiar las derivadas de segundo orden de dicha función.

Creo que estarás de acuerdo conmigo en lo siguiente:
$$ f(x) = \frac {1}{x}·\ln(x) $$
$$ f'(x) = \frac {1}{x^2}·\left [1-\ln(x)  \right ] $$
$$ f''(x) = \frac {1}{x^3}·\left [ 2·\ln(x) - 3 \right ] $$

De todo esto, lo único que nos interesa es la función \( f''(x) \). A la cual, procederé a estudiarle el signo. Para esto, primero debo hallar sus raíces.

$$ \frac {1}{x^3}·\left [ 2·\ln(x) - 3 \right ] = 0 \Leftrightarrow 2·\ln(x) - 3 = 0\Rightarrow \ln(x) = \frac {3}{2} \Rightarrow \boxed {e^{3/2} = x} $$

Entonces, si \( x > e^{3/2} \Rightarrow f(x)'' > 0 \). Afirmaremos que si \( x > e^{3/2} \) entonces la función es convexa. Análogamente se ve para cóncava.

Lo anterior traducido a notación de intervalos sería:

Cita
\( f(x) \) es convexa en \( (e^{3/2}; +\infty) \), y es cóncava en \( (-\infty; e^{3/2}) \).


Espero haber sido claro en la explicación. Cualquier duda estoy a las órdenes. :)

Saludos.

¿No estás de acuerdo con lo que escribí? ¡por favor explícame tu punto de vista! :)

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