| Foro Problemas sin resolver concavidad y convexidad de la funcion |
| concavidad y convexidad de la funcion |
07-11-2014, 7:39 PM
Hola atodos:
Alguien me podria ayudar a resolver este ejercicio, indicandome el paso a paso? Hallar los intervalos de concavidad y convexidad de la funcion siguiente:  |
09-11-2014, 5:36 PM
Hola, y bienvenido al foro.
Para estudiar la concavidad y la convexidad de una función, es necesario estudiar las derivadas de segundo orden de dicha función. Creo que estarás de acuerdo conmigo en lo siguiente: $$ f(x) = \frac {1}{x}·\ln(x) $$ $$ f'(x) = \frac {1}{x^2}·\left [1-\ln(x) \right ] $$ $$ f''(x) = \frac {1}{x^3}·\left [ 2·\ln(x) - 3 \right ] $$ De todo esto, lo único que nos interesa es la función \( f''(x) \). A la cual, procederé a estudiarle el signo. Para esto, primero debo hallar sus raíces. $$ \frac {1}{x^3}·\left [ 2·\ln(x) - 3 \right ] = 0 \Leftrightarrow 2·\ln(x) - 3 = 0\Rightarrow \ln(x) = \frac {3}{2} \Rightarrow \boxed {e^{3/2} = x} $$ Entonces, si \( x > e^{3/2} \Rightarrow f(x)'' > 0 \). Afirmaremos que si \( x > e^{3/2} \) entonces la función es convexa. Análogamente se ve para cóncava. Lo anterior traducido a notación de intervalos sería: Cita \( f(x) \) es convexa en \( (e^{3/2}; +\infty) \), y es cóncava en \( (-\infty; e^{3/2}) \). Espero haber sido claro en la explicación. Cualquier duda estoy a las órdenes.  Saludos. |
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