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Problemas de cfas, geo analítica, inecuación, sistema, tange
01-06-2013, 9:48 PM
Post: #1

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01-06-2013, 9:53 PM
Post: #2
1. a.

Si se nos dice que el centro se encuentra en el origen, podemos afirmar que los términos de \( x \) y de \( y \) de primer grado, serán nulos, no aparecerán en la ecuación.

$$ x^2 + y^2 -2·\alpha·x - 2·\beta·y + \alpha^2 + \beta^2 - r^2 = 0 $$

$$ x^2 + y^2 -2·0·x - 2·0·y + 0^2 + 0^2 - 5^2 = 0 $$

$$ x^2 + y^2 - 25 = 0 $$


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01-06-2013, 9:55 PM
Post: #3
1. b.

$$ x^2 + y^2 -2·\alpha·x - 2·\beta·y + \alpha^2 + \beta^2 - r^2 = 0 $$

$$ x^2 + y^2 -2·2·x - 2·3·y + 2^2 + 3^2 - 4^2 = 0 $$

$$ x^2 + y^2 - 4·x - 6·y + 4 + 9 - 16 = 0 $$

$$ x^2 + y^2 - 4·x - 6·y -3 = 0 $$


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01-06-2013, 10:03 PM
Post: #4
1. c.

Cuando se nos dice que la cfa pasa por el origen de coordenadas, podemos afirmar que el término independiente (aquel que no posee variable) es nulo.

$$ x^2 + y^2 -2·\alpha·x - 2·\beta·y = 0 $$

$$ x^2 + y^2 -2·(-1)·x - 2·(4)·y = 0 $$

$$ x^2 + y^2 +2·x - 8·y = 0 $$


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01-06-2013, 10:11 PM
Post: #5
1. d.

El diámetro de la cfa, es cualquier segmento que pase por el centro de la cfa y cumpla que: \( 2·r = d \).

Veamos la siguiente ilustración:


Como podemos apreciar, el punto medio entre los extremos de la cfa es el radio. Conociendo ambos puntos, podemos aplicar "punto medio de un segmento" y calcular el centro de la cfa. Es lo que haremos.

$$ C \left ( \frac {2-4}{2}, \frac {-3+5}{2} \right ) ⇒ C \left ( -1, 1 \right ) $$

$$ x^2 + y^2 -2·\alpha·x - 2·\beta·y + \gamma = 0 $$

$$ x^2 + y^2 -2·(-1)·x - 2·(1)·y + \gamma = 0 $$

$$ x^2 + y^2 +4·x - 2·y + \gamma = 0 $$

Sustituimos por las coordenadas de cualquiera de los dos puntos:

$$ (2)^2 + (-3)^2 +4·(2) - 2·(-3) + \gamma = 0 $$

$$ 4 + 9 +8 +6 + \gamma = 0 ⇒ \gamma = -23 $$

$$ x^2 + y^2 +4·x - 2·y - 23 = 0 $$


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01-06-2013, 10:44 PM
Post: #6
1. e.

$$ x^2 + y^2 -2·\alpha·x - 2·\beta·y + \gamma = 0 $$

$$ x^2 + y^2 -2·(-1)·x - 2·(2)·y + \gamma = 0 $$

$$ x^2 + y^2 + 2·x - 4·y + \gamma = 0 $$

Reemplazamos las coordenadas del punto:

$$ (2)^2 + (6)^2 + 2·(2) - 4·(6) + \gamma = 0 ⇒ \gamma = -20 $$

$$ x^2 + y^2 + 2·x - 4·y -20 = 0 $$


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01-06-2013, 10:53 PM
Post: #7
1. f.

Cita
A tener en cuenta:
Si se nos dice que la cfa es tangente al eje \( O \vec y \), entonces, el radio será igual a la abscisa del centro.
Si se nos dice que la cfa es tangente al eje \( O \vec x \), entonces, el radio será igual a la ordenada del centro.

Por lo que podemos afirmar que el radio es \( r = 2 \).

$$ x^2 + y^2 -2·(2)·x - 2·(-3)·y + (2)^2 + (-3)^2 - (2)^2 = 0 $$

$$ x^2 + y^2 -4·x + 6·y + 4 + 9 - 4 = 0 $$

$$ x^2 + y^2 -4·x + 6·y + 9 = 0 $$


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01-06-2013, 11:27 PM
Post: #8
2. a.

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 - 2·x = 0 \\ y = 3·x \end{cases} $$

$$ x^2 + y^2 - 2·x = 0 ⇒ x^2 + (3·x)^2 - 2·x = 0 ⇒ x^2 + 9·x^2 - 2·x = 0 ⇒ 10·x^2 - 2·x = 0 ⇒ 5·x^2 - x = 0 $$

$$ 5·x^2 - x = 0 ⇒ x·(5·x -1) = 0 ⇔ x = 0 v 5·x -1 = 0 $$

$$ \left\{ 0, \frac {1}{5} \right\} $$

· Cuando \( x = 0 \):
$$ y = 3·0 ⇒ y = 0 $$

$$ A (0,0) $$

· Cuando \( x = \frac {1}{5} \):
$$ y = 3·\frac {1}{5} ⇒ y = \frac {3}{5} $$

$$ B \left (\frac {1}{5},\frac {3}{5}\right ) $$

Son secantes en:
$$ S = \left\{ (0,0); \left (\frac {1}{5},\frac {3}{5}\right ) \right\} $$


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