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Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto
11-04-2013, 10:12 PM
Post: #1

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11-04-2013, 10:14 PM
Post: #2
1.
$$ |x| = 3 $$

Por definición de valor absoluto podemos afirmar que: \( x = ± 3 \).

Para representar gráficamente debemos considerar a cada miembro como una función:
$$ f(x) = |x| $$
$$ g(x) = 3 $$


$$ S = \left\{ -3, +3\right\} $$

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11-04-2013, 10:18 PM
Post: #3
2.
$$ |x| = -3 $$

Por definición de valor absoluto sabemos que esto no es posible, por lo que directamente podemos afirmar que:
$$ S = ∅ $$

Volvemos a graficar la expresión por el mismo método que el anterior:
$$ f(x) = |x| $$
$$ g(x) = -3 $$


Como vemos, la funciones no se cortan por lo que es correcto afirmar que la solución es vacía, o sea, no existe ningún número que cumpla tal condición.

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11-04-2013, 10:28 PM
Post: #4
3.
Hasta la anterior pudimos resolver utilizando únicamente la definición, aquí es un poco más difícil, debemos estudiar el dominio.

$$ |x+2| = 5 $$

Se estudia únicamente el dominio de la expresión que está en valor absoluto:

El anterior gráfico expresa el comportamiento del signo de la función.

Como vemos, antes de -2 es negativo y luego positiva, por lo que vamos a considerar dos tramos, el primero cuando es negativa y el segundo cuando es positiva.


1º Tramo:
\( D = (-∞, -2) \)
En este tramo vimos que la función es negativa (rojo), por lo que vamos a considerar el opuesto de la expresión:
$$ -(x+2) = 5 $$
$$ -x -2 = 5 $$
$$ -x = 7 $$
$$ x = -7 $$

Como vemos, el valor de \( x \) que hallamos está dentro del dominio, ya que es menor que -2, por lo cual podemos afirmar que es solución de la ecuación.

2º Tramo:
\( D = (-2, +∞) \)

Vimos que luego de -2 la función se comporta de forma positiva, así que vamos a dejar la expresión tal cual está:
$$ x+2 = 5 $$
$$ x = 3 $$

Vemos que esta otra raíz también está dentro del dominio, por lo que también es solución de la ecuación.

La solución de la ecuación es:
$$ S = \left\{ -7,3\right\} $$

Vamos a graficarla para verificar:


Les recuerdo que siempre (aunque crean que está bien aplicado el método y bien razonado), lo mejor es verificar de algún modo, ya sea mediante un gráfico o por simplemente valor numérico (sustituir el número en la ecuación, si llegamos a lo mismo de los dos lados, la raíz es correcta ya que verifica la ecuación).

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01-05-2013, 10:02 PM
Post: #5
4. Hacemos el estudio del signo de ambas funciones:


Establecemos los tramos:


1º Tramo:
\( D = (-∞, -1) \)

$$ -(x+1) = -(x-7) ⇒ -x - 1 = -x + 7 ⇒ S_{1} = ∅ $$

2º Tramo:
\( D = (-1, 7) \)

$$ x + 1 = -(x-7) ⇒ x+1=-x+7 ⇒ 2·x = 6 ⇒ x = 3 ⇒ S_{2} = \left\{ 3\right\} $$

3º Tramo:
\( D = (7, +∞) \)

$$ x+1=x-7 ⇒ S_{3} = ∅ $$

$$ S = \left\{ 3\right\} $$

Solución gráfica:


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13-05-2013, 3:58 AM
Post: #6
5.
$$ |x| = x + 1 $$

Como siempre: hacemos el estudio del signo de la expresión que está en valor absoluto:



1º Tramo:
\( D = (-∞,0) \)

Como vemos, en el primer tramo la expresión es negativa (rojo):
$$ -x = x + 1 ⇒ -2·x = 1 ⇒ x = - \frac {1}{2} $$

$$ S_{I} = \left\{ - \frac {1}{2} \right\} $$

2º Tramo:
\( D = (0, +∞) \)

Como vemos, en el primer tramo la expresión es positiva (verde):
$$ x = x + 1 ⇒ ∄x $$

$$ S_{II} = ∅ $$

$$ S = \left\{ - \frac {1}{2} \right\} $$

Solución gráfica:


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