11-04-2013, 10:12 PM
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| Foro Problemas sin resolver Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto |
| Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto |
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11-04-2013, 10:14 PM
1.
$$ |x| = 3 $$ Por definición de valor absoluto podemos afirmar que: \( x = ± 3 \). Para representar gráficamente debemos considerar a cada miembro como una función: $$ f(x) = |x| $$ $$ g(x) = 3 $$  $$ S = \left\{ -3, +3\right\} $$ |
11-04-2013, 10:18 PM
2.
$$ |x| = -3 $$ Por definición de valor absoluto sabemos que esto no es posible, por lo que directamente podemos afirmar que: $$ S = ∅ $$ Volvemos a graficar la expresión por el mismo método que el anterior: $$ f(x) = |x| $$ $$ g(x) = -3 $$  Como vemos, la funciones no se cortan por lo que es correcto afirmar que la solución es vacía, o sea, no existe ningún número que cumpla tal condición. |
11-04-2013, 10:28 PM
3.
Hasta la anterior pudimos resolver utilizando únicamente la definición, aquí es un poco más difícil, debemos estudiar el dominio. $$ |x+2| = 5 $$ Se estudia únicamente el dominio de la expresión que está en valor absoluto:  El anterior gráfico expresa el comportamiento del signo de la función. Como vemos, antes de -2 es negativo y luego positiva, por lo que vamos a considerar dos tramos, el primero cuando es negativa y el segundo cuando es positiva.  1º Tramo: \( D = (-∞, -2) \) En este tramo vimos que la función es negativa (rojo), por lo que vamos a considerar el opuesto de la expresión: $$ -(x+2) = 5 $$ $$ -x -2 = 5 $$ $$ -x = 7 $$ $$ x = -7 $$ Como vemos, el valor de \( x \) que hallamos está dentro del dominio, ya que es menor que -2, por lo cual podemos afirmar que es solución de la ecuación. 2º Tramo: \( D = (-2, +∞) \) Vimos que luego de -2 la función se comporta de forma positiva, así que vamos a dejar la expresión tal cual está: $$ x+2 = 5 $$ $$ x = 3 $$ Vemos que esta otra raíz también está dentro del dominio, por lo que también es solución de la ecuación. La solución de la ecuación es: $$ S = \left\{ -7,3\right\} $$ Vamos a graficarla para verificar:  Les recuerdo que siempre (aunque crean que está bien aplicado el método y bien razonado), lo mejor es verificar de algún modo, ya sea mediante un gráfico o por simplemente valor numérico (sustituir el número en la ecuación, si llegamos a lo mismo de los dos lados, la raíz es correcta ya que verifica la ecuación). |
01-05-2013, 10:02 PM
4. Hacemos el estudio del signo de ambas funciones:
 Establecemos los tramos:  1º Tramo: \( D = (-∞, -1) \) $$ -(x+1) = -(x-7) ⇒ -x - 1 = -x + 7 ⇒ S_{1} = ∅ $$ 2º Tramo: \( D = (-1, 7) \) $$ x + 1 = -(x-7) ⇒ x+1=-x+7 ⇒ 2·x = 6 ⇒ x = 3 ⇒ S_{2} = \left\{ 3\right\} $$ 3º Tramo: \( D = (7, +∞) \) $$ x+1=x-7 ⇒ S_{3} = ∅ $$ $$ S = \left\{ 3\right\} $$ Solución gráfica:  |
13-05-2013, 3:58 AM
5.
$$ |x| = x + 1 $$ Como siempre: hacemos el estudio del signo de la expresión que está en valor absoluto:  1º Tramo: \( D = (-∞,0) \) Como vemos, en el primer tramo la expresión es negativa (rojo): $$ -x = x + 1 ⇒ -2·x = 1 ⇒ x = - \frac {1}{2} $$ $$ S_{I} = \left\{ - \frac {1}{2} \right\} $$ 2º Tramo: \( D = (0, +∞) \) Como vemos, en el primer tramo la expresión es positiva (verde): $$ x = x + 1 ⇒ ∄x $$ $$ S_{II} = ∅ $$ $$ S = \left\{ - \frac {1}{2} \right\} $$ Solución gráfica:  |
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