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Ejercicios de números complejos
09-02-2013, 8:55 PM (Este mensaje fue modificado por última vez por: marcos364 - Sábado, 09-02-2013, 8:56 PM.)
Post: #1
Expresar los siguientes números complejos en la forma binómica (\( a + b·i \), con \( a, b ∈ ℝ \) ) y en notación polar. Representarlos geométricamente.

1. $$ (1 + i)^2 $$
2. $$ \frac {1}{1 + i} $$
3. $$ i^5 + i^{16} $$
4. $$ \frac {(1 + i)·(2 + i)·(3 + i)}{1 - i} $$
09-02-2013, 9:02 PM
Post: #2
Comencemos con el primero:

Desarrollemos ese cuadrado:
$$ (1 + i)^2 = (1 + i)·(1 + i) = 2·i $$

Notación binómica:
\( z = 0 + 2·i \)

Notación polar:
$$ |z| = \sqrt {a^2 + b^2} ⇒ |z| = \sqrt {2^2 + 0^2} ⇒ |z| = \sqrt {4} ⇒ |z| = 2 $$
$$ \theta = \arctan \left ( \frac {2}{0} \right ) = ∄ $$
Como no podemos calcular el ángulo de esta forma, nos orientamos con los ejes (además sabemos que la tangente de 90 no existe, o mejor dicho es infinita). Por lo que \( \theta = 90º \).

\(z = 2 ∠ 90º \)

Quote
Representación cartesiana en el diagrama de Argand:

Archivo(s) adjunto(s): 7793487.gif(1Kb)

¿No estás de acuerdo con lo que escribí? ¡por favor explícame tu punto de vista! :)

· No se resuelven problemas ni se responde a consultas sobre matemática, física ni química por mensaje privado.
· Si utilizas material de este sitio, no olvides citar la fuente.
· Si te sirvió lo que dije, puedes agradecerme aumentado mi reputación.
· Si ven que tengo una falta de ortografía un hechicero lo hizo.
10-02-2013, 2:57 AM
Post: #3
Segundo ejercicio:

$$ \frac {1}{1 + i} $$

Primero que nada, debemos llevarlo a la forma \( z = a + b·i \), para esto utilizaremos una par de propiedades.

Quote
Recordar que si se multiplica tanto el denominador como el numerador de una fracción, la proporción se mantiene.
$$ \frac {a}{b} = \frac {a·c}{b·c} $$


Para llevar un complejo fraccionario a uno en el que el denominador sea 1, podemos multiplicar tanto el numerador como el denominador por el complejo conjugado del denominador:
$$ \frac {w}{z} = \frac {w· \overline z}{z· \overline z} $$

$$ \frac {1}{1 + i} = \frac {1·(1-i)}{(1+i)·(1-i)} = \frac {1-i}{2} = \frac {1}{2} - \frac {1}{2}·i $$

Notación binómica:
\( z = \frac {1}{2} - \frac {1}{2}·i \)

Notación polar:
$$ |z| = \sqrt { \left ( \frac{1}{2}\right )^2 + \left ( - \frac{1}{2}\right )^2 } = \sqrt {\frac {1}{2}} $$
$$ \theta = \arctan \left ( \frac { - \frac {1}{2} }{\frac {1}{2}} \right ) = \arctan ( -1 ) = -45 $$

$$ z = \sqrt {\frac {1}{2}} ∠ -45º $$

Quote
Representación cartesiana en el diagrama de Argand:

Archivo(s) adjunto(s): 5785731.gif(1Kb)

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