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| Ejercicios de números complejos |
09-02-2013, 8:55 PM
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09-02-2013, 9:02 PM
Comencemos con el primero:
Desarrollemos ese cuadrado: $$ (1 + i)^2 = (1 + i)·(1 + i) = 2·i $$ Notación binómica: \( z = 0 + 2·i \) Notación polar: $$ |z| = \sqrt {a^2 + b^2} ⇒ |z| = \sqrt {2^2 + 0^2} ⇒ |z| = \sqrt {4} ⇒ |z| = 2 $$ $$ \theta = \arctan \left ( \frac {2}{0} \right ) = ∄ $$ Como no podemos calcular el ángulo de esta forma, nos orientamos con los ejes (además sabemos que la tangente de 90 no existe, o mejor dicho es infinita). Por lo que \( \theta = 90º \). \(z = 2 ∠ 90º \) Quote Representación cartesiana en el diagrama de Argand:  |
10-02-2013, 2:57 AM
Segundo ejercicio:
$$ \frac {1}{1 + i} $$ Primero que nada, debemos llevarlo a la forma \( z = a + b·i \), para esto utilizaremos una par de propiedades. Quote Recordar que si se multiplica tanto el denominador como el numerador de una fracción, la proporción se mantiene. $$ \frac {a}{b} = \frac {a·c}{b·c} $$ Para llevar un complejo fraccionario a uno en el que el denominador sea 1, podemos multiplicar tanto el numerador como el denominador por el complejo conjugado del denominador: $$ \frac {w}{z} = \frac {w· \overline z}{z· \overline z} $$ $$ \frac {1}{1 + i} = \frac {1·(1-i)}{(1+i)·(1-i)} = \frac {1-i}{2} = \frac {1}{2} - \frac {1}{2}·i $$ Notación binómica: \( z = \frac {1}{2} - \frac {1}{2}·i \) Notación polar: $$ |z| = \sqrt { \left ( \frac{1}{2}\right )^2 + \left ( - \frac{1}{2}\right )^2 } = \sqrt {\frac {1}{2}} $$ $$ \theta = \arctan \left ( \frac { - \frac {1}{2} }{\frac {1}{2}} \right ) = \arctan ( -1 ) = -45 $$ $$ z = \sqrt {\frac {1}{2}} ∠ -45º $$ Quote Representación cartesiana en el diagrama de Argand:  |
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