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Geometría analítica en el plano: la elipse
24-10-2013, 6:43 PM
Post: #1
Elipse

Definición:
Dados dos puntos \( F \) y \( F' \) y un número real positivo \( 2·a \) tal que \( 2·a > d(F,F') \). Se conoce como elipse al lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a \( F \) y \( F' \) sea igual y constante a \( 2·a \).


Todo punto P que pertenezca a la elipse debe cumplir que:
$$ ∀P∈ \mathcal{E} ⇔ d(P,F)+d(P,F') = 2·a / 2·a > d(F,F') $$

Elementos de una elipse:
· Focos: F y F' \( / d(F,F') = 2·c \)
· Número real positivo \( 2·a∈ℝ^{+} / 2·a > 2·c ⇒ a > c \)
· Ejes de simetría:
:: Eje focal: la recta FF'.
:: Eje transverso: mediatriz de FF'.
· Centro de simetría: O, punto medio de FF'.
· Vértices:
:: A y A' los cuales pertenecen al eje focal.
:: B y B' los cuales pertenecen al eje transverso.
· Longitud del segmento AA': \( d(A,A') = 2·a \)

Ecuación de la elipse:
· Toda elipse de eje focal paralelo a \( O \vec x \) se puede expresar de la forma reducida:
$$ \frac {(x-h)^2}{a^2} + \frac {(y-k)^2}{b^2} = 1 $$


· Toda elipse de eje focal paralelo a \( O \vec y \) se puede expresar de la forma reducida:
$$ \frac {(x-h)^2}{b^2} + \frac {(y-k)^2}{a^2} = 1 $$


Donde su centro es \( O'(h,k) \).

Se debe tener en cuenta que \( a>b \).

La forma desarrollada de una elipse es: \( A·x^2 + B·x·y + C·y^2 + D·x + E·y + F = 0 \) que también es la ecuación de cualquier cónica, por
lo cual, no es recomendable trabajar con ella en forma desarrollada.

Archivo(s) adjunto(s): 4732974.gif(131Kb) · 4094242.png(7Kb) · 8933981.png(7Kb)

¿No estás de acuerdo con lo que escribí? ¡por favor explícame tu punto de vista! :)

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· Si te sirvió lo que dije, puedes agradecerme aumentado mi reputación.
· Si ven que tengo una falta de ortografía un hechicero lo hizo.
24-10-2013, 6:54 PM
Post: #2
· Determinar el centro de una elipse conociendo su ecuación en forma desarrollada:
La ecuación de una elipse desarrollada es de la forma: \( A·x^2 + B·x·y + C·y^2 + D·x + E·y + F = 0 \). La raíz de la derivada parcial con respecto a la variable \( x \), será la abscisa del centro de la elipse; mientras que la raíz de la derivada parcial con respecto a la variable \( y \), será la ordenada del centro de la elipse.


Archivo(s) adjunto(s): 7023128.png(52Kb)

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20-11-2013, 5:42 PM
Post: #3
Cálculo del área de una elipse



El área de una elipse puede calcularse fácilmente mediante la siguiente fórmula:
$$ Á = a·b·\pi $$

Archivo(s) adjunto(s): 5687970.png(40Kb)

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