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Función exponencial
15-09-2013, 9:41 PM
Post: #1
Función exponencial

Las funciones exponenciales son del tipo:
$$ f(x) = a^{x} $$

Condición:
\( a∈ℝ^{+} \)
\( a ≠ 1 \)

O sea, es una constante elevada a una función.

Para estudiar esta función, vamos a dividirla en dos grandes categorías, esto se debe a que sus gráficos son distintos.

Distinción:
a. \( 0 < a < 1 \)
b. \( 1 < a \)

Cita

$$ a(x) = 2^{x} $$
$$ b(x) = \left ( \frac {1}{2} \right )^{x} $$

Archivo(s) adjunto(s): 8403886.png(45Kb)

¿No estás de acuerdo con lo que escribí? ¡por favor explícame tu punto de vista! :)

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15-09-2013, 9:50 PM
Post: #2
Función exponencial de base \( 0 < a < 1 \):

Características:
· Es una función creciente.
· No tiene raíces: \( S = ∅ \)
· Su ordenada en el origen es \( [0,1] \).
· Su dominio es: \( D = ℝ \).
· Su codominio es: \( C = ℝ^{+} \).

Gráfico:


Archivo(s) adjunto(s): 5385219.png(35Kb)

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15-09-2013, 9:51 PM
Post: #3
Función exponencial de base \( a > 1 \):

Características:
· Es una función decreciente.
· No tiene raíces: \( S = ∅ \)
· Su ordenada en el origen es \( [0,1] \).
· Su dominio es: \( D = ℝ \).
· Su codominio es: \( C = ℝ^{+} \).

Gráfico:


Archivo(s) adjunto(s): 6925701.png(35Kb)

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22-09-2013, 4:09 AM
Post: #4
Resolución de una ecuación exponencial:

· 1er tipo: si son de igual base o se pueden llevar a igual base sin aplicar logaritmos:
$$ a^{p(x)} = a^{q(x)} ⇒ p(x) = q(x) $$
Se resuelve la ecuación a la que se ha llegado, su conjunto solución es el mismo del de la ecuación exponencial original.

· 2do tipo: si son de distinta base y no se pueden llevar a la misma base sin aplicar logaritmos:
$$ a^{p(x)} = b^{q(x)} ⇒ [p(x)]·\ln(a) = [q(x)]·\ln(b) $$
Se aplican las distributivas necesarias (dependiendo de la función) y se lleva todo a un mismo miembro, luego, se ordenada en la variable y resuelve la ecuación, su conjunto solución es el mismo del de la ecuación exponencial original.

· 3er tipo: si la ecuación exponencial es más compleja, entiéndase, que tiene más términos:
$$ p(x) + a^{q(x)} = 0 $$
Se aplica un cambio de variable conveniente.

· 4to caso: si se trata de una suma de términos (progresión geométrica):
$$ a_{1} + a_{2} + a_{3} + ... + a^{x} = b $$
Se puede resolver fácilmente a través de la siguiente fórmula (deducida a partir de la de progresión geométrica):
$$ x = \log_{a} \left ( \frac {b·(a_{3}-a_{2})+a_{1}·a_{2}}{a_{3}} \right ) $$

· 5to caso: si es sencilla, del tipo:
$$ a^{x} = b $$
Se aplica la definición de logaritmo:
$$ x = \log_{a} (b) $$

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