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Teorema de Bolzano
06-09-2013, 10:31 PM
Post: #1
Teorema de Bolzano

Este teorema matemático afirma que si una función \( f(x) \) es continua en un intervalo \( [a,b] \) y se cumple la condición de que \( f(a) \) y \( f(b) \) son de distinto signo, entonces, podemos afirmar que existe al menos una raíz dentro de dicho intervalo.

Esto es algo bastante obvio. Supongamos el siguiente ejemplo:


O sea, si una función que es continua, para un valor de abscisa dado tiene una ordenada positiva y para otro valor de abscisa tiene una ordenada negativa, necesariamente, tiene que haber un valor de abscisa que le corresponda una ordenada nula. Dicho en otras palabras, para que la función tenga un parte por arriba del eje horizontal y otra debajo de este, es porque en algún momento se corta con dicho eje.


Cita
A tener en cuenta: que se cumpla la hipótesis del teorema de Bolzano significa que la función tiene al menos una raíz dentro del intervalo estudiado. Si no se cumple la hipótesis del teorema de Bolzano, no significa que no tenga raíces dentro del intervalo estudiado, simplemente no podemos saberlo por este método, es recomendable ver el ejemplo, para entender más.



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08-09-2013, 10:41 PM
Post: #2
Teorema de Darboux:

Enunciado por el francés Gaston Darboux (1842-1917), es una generalización del teorema de Bolzano.

Enunciado:
Si una función es continua en el intervalo \( [a, b] \) y \( k \) es un número comprendido entre los valores \( f(a) \) y \( f(b) \), entonces existe al menos un \( c∈(a, b) \) tal que \( f( c ) = k \).



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