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Geometría analítica: desdoblada de la tangente
28-08-2013, 5:56 AM
Post: #1
En geometría analítica, la desdoblada de la tangente son un conjunto de cambios que se pueden realizar en cualquiera de las ecuaciones de una cónica (circunferencia, parábola, elipse e hipérbola), dando de esta forma, la ecuación de la recta tangente a la figura en un punto de ella.

Cita
Cambios a realizar:
$$ x^2 → x·x_{o} $$
$$ y^2 → y·y_{o} $$
$$ x·y → \frac {x·y_{o} + x_{o}·y}{2} $$
$$ x → \frac {x+x_{o}}{2} $$
$$ y → \frac {y+y_{o}}{2} $$

Siendo \( P(x_{o},y_{o}) \) el punto de tangencia de la recta con la cónica.

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30-08-2013, 7:31 PM
Post: #2
Ejemplos aplicados a cfas y parábolas:


















Archivo(s) adjunto(s): 8352184.png(61Kb) · 2723650.png(70Kb) · 7133771.png(60Kb) · 4432650.png(57Kb) · 1913680.png(66Kb) · 2241151.png(55Kb) · 9844157.png(59Kb) · 8747828.png(50Kb) · 3186163.png(55Kb)

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21-11-2013, 11:56 PM
Post: #3
Deducción de los cambios de la desdoblada de la tangente

Primera parte: ecuación de la tangente a una cónica por el origen
La ecuación de una cónica cualquiera es de la forma: \( A·x^2 + B·x·y + C·y^2 + D·x + E·y + F = 0 \). Como pasa por el origen, necesariamente \( F = 0 ⇒ A·x^2 + B·x·y + C·y^2 + D·x + E·y = 0 \)

Como la ecuación de la recta tangente pasará por el origen, será de la forma \( (t) y = m·x \). Se reemplaza en la ecuación de la cónica y se ordena en función de \( x \).

$$ (C·m^2 + B·m + A)·x^2 + (D + E·m)·x = 0 $$

Estamos buscando el valor de \( m \) para que \( (t) \) sea tangente a la cónica, por lo tanto, debe tener una única raíz. Es decir, su discriminante debe ser 0.
$$ \Delta = (D + E·m)^2 - 4·(C·m^2 + B·m + A)·0 = 0 ⇒ D + E·m = 0 ⇒ m = - \frac {D}{E}, E≠0 $$

Por lo tanto: \( (t) y = - \frac {D}{E}·x ⇒ (t) D·x + E·y = 0 \). En el caso en que \( E = 0 ⇒ (t) x = 0 \).

Segunda parte: generalización de la ecuación de la tangente a una cónica por cualquier punto de ella
Se realiza una traslación de ejes.

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