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Asíntotas de una función
27-08-2013, 10:37 PM
Post: #1
Asíntotas de una función

Definición:
Una asíntota es una recta, a la cual se acerca infinitamente la función. Existen tres tipos de asíntotas.

Tipos de asíntotas:
· Asíntota vertical:
Existe una asíntota en \( x = a \) si y sólo si al menos uno de los límites laterales de cuando \( x \to a \) es infinito.



· Asíntota horizontal:
Existe una asíntota en \( y = a \) si y sólo si al menos uno de los límites cuando \( x \to ∞ \) es un número finito \( a \).



· Asíntota oblicua:
Existe una asíntota oblicua de ecuación \( y = m·x+n \) si y sólo si al menos uno de los límites cuando \( x \to ∞ \) es \( ∞ \).

Cálculo de la asíntota oblicua de ecuación \( y = m·x + n \):
· Cálculo de \( m \):
$$ \lim_{x \to ∞} \frac {f(x)}{x} = m $$

· Cálculo de \( n \):
$$ \lim_{x \to ∞} (f(x) - m·x) = n $$


Con respecto a las asíntotas oblicuas, se debe evaluar el límite para cuando \( x \to +∞ \) y para cuando \( x \to -∞ \), esto se debe a que no siempre coinciden dichas asíntotas. Puede ser que la función presente dos asíntotas oblicuas distintas.

Archivo(s) adjunto(s): 4310624.png(52Kb) · 3673837.png(39Kb) · 2524201.png(76Kb)

¿No estás de acuerdo con lo que escribí? ¡por favor explícame tu punto de vista! :)

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27-11-2013, 1:30 PM
Post: #2
Deducción de las fórmulas para calcular asíntotas oblicuas

Como la función tiende a ser la asíntota, podemos afirmar que en el infinito la función será la asíntota. De acá podemos deducir lo siguiente:
$$ \lim_{x \to ∞} f(x) = \lim_{x \to ∞} m·x + n $$

De aquí queremos conocer la recta, es decir, los valores de \( m \) y de \( n \) de ésta.

Para conocer \( m \):
$$ \lim_{x \to ∞} f(x) = \lim_{x \to ∞} m·x + n $$
$$ \lim_{x \to ∞} \frac {f(x)}{x} = \lim_{x \to ∞} \frac {m·x + n}{x} $$
$$ \lim_{x \to ∞} \frac {f(x)}{x} = \lim_{x \to ∞} m $$
$$ \lim_{x \to ∞} \frac {f(x)}{x} = m $$

Para conocer \( n \):
$$ \lim_{x \to ∞} f(x) = \lim_{x \to ∞} m·x + n $$
$$ \lim_{x \to ∞} f(x) - m·x = \lim_{x \to ∞} m·x + n - m·x $$
$$ \lim_{x \to ∞} f(x) - m·x = \lim_{x \to ∞} n $$
$$ \lim_{x \to ∞} f(x) - m·x = n $$

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