Universo Científico :: Asíntotas de una función

Página 1 de 1
1

Asíntotas de una función

Definición:
Una asíntota es una recta, a la cual se acerca infinitamente la función. Existen tres tipos de asíntotas.

Tipos de asíntotas:
· Asíntota vertical:
Existe una asíntota en $ x = a $ si y sólo si al menos uno de los límites laterales de cuando $ x \to a $ es infinito.

· Asíntota horizontal:
Existe una asíntota en $ y = a $ si y sólo si al menos uno de los límites cuando $ x \to ∞ $ es un número finito $ a $.

· Asíntota oblicua:
Existe una asíntota oblicua de ecuación $ y = m·x+n $ si y sólo si al menos uno de los límites cuando $ x \to ∞ $ es $ ∞ $.

Cálculo de la asíntota oblicua de ecuación $ y = m·x + n $:
· Cálculo de $ m $:
$$ \lim_{x \to ∞} \frac {f(x)}{x} = m $$

· Cálculo de $ n $:
$$ \lim_{x \to ∞} (f(x) - m·x) = n $$

Con respecto a las asíntotas oblicuas, se debe evaluar el límite para cuando $ x \to +∞ $ y para cuando $ x \to -∞ $, esto se debe a que no siempre coinciden dichas asíntotas. Puede ser que la función presente dos asíntotas oblicuas distintas.

Deducción de las fórmulas para calcular asíntotas oblicuas

Como la función tiende a ser la asíntota, podemos afirmar que en el infinito la función será la asíntota. De acá podemos deducir lo siguiente:
$$ \lim_{x \to ∞} f(x) = \lim_{x \to ∞} m·x + n $$

De aquí queremos conocer la recta, es decir, los valores de $ m $ y de $ n $ de ésta.

Para conocer $ m $:
$$ \lim_{x \to ∞} f(x) = \lim_{x \to ∞} m·x + n $$
$$ \lim_{x \to ∞} \frac {f(x)}{x} = \lim_{x \to ∞} \frac {m·x + n}{x} $$
$$ \lim_{x \to ∞} \frac {f(x)}{x} = \lim_{x \to ∞} m $$
$$ \lim_{x \to ∞} \frac {f(x)}{x} = m $$

Para conocer $ n $:
$$ \lim_{x \to ∞} f(x) = \lim_{x \to ∞} m·x + n $$
$$ \lim_{x \to ∞} f(x) - m·x = \lim_{x \to ∞} m·x + n - m·x $$
$$ \lim_{x \to ∞} f(x) - m·x = \lim_{x \to ∞} n $$
$$ \lim_{x \to ∞} f(x) - m·x = n $$

Página 1 de 1
1

Universo Científico

Admin

Admin