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Teorema de los ceros racionales o teorema de Gauss
12-07-2013, 2:56 PM
Post: #1
Teorema de la raíz racional

Este teorema tiene diversos nombres que dependen del país, pero lo importante es que todos hablan del mismo teorema. Algunos de sus nombres son: teorema de los ceros racionales, teorema de Gauss, teorema de la raíz racional, corolario del lema de Euclides, entre otros.

Enunciado:
Sea un polinomio \( h(x) = a_{0}·x^n + a_{1}·x^{n-1} + ... + a_{n-1}·x + a_{n} \), bajo la condición de que \( a_{0} ≠ 0 \) y \( a_{n} ≠ 0 \); donde \( p \) es el conjunto de los divisores de \( a_{n} \) y \( q \) es el conjunto de los divisores de \( a_{0} \), entonces todas las raíces racionales de \( h(x) \) se pueden escribir como el valor absoluto del cociente entre \( p \) y \( q \), y también como su opuesto.

Expresión matemática:
$$ x = ± \frac {p}{q} $$

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12-07-2013, 3:10 PM
Post: #2
Ejemplo:
Código
Hallar las raíces de la ecuación: \( 12·x^4 + 32·x^3 - 15·x^2 - 8·x + 3 = 0 \), sabiendo que todas ellas son racionales.

Hallamos los conjuntos \( p \) y \( q \) del polinomio:

$$ p = \left\{ 3, 1 \right\} $$
$$ q = \left\{ 12, 4, 3, 2, 1 \right\} $$

Aplicamos la fórmula: $$ x = ± \frac {p}{q} $$

Y vemos que:
$$ S = \left\{ -3, -\frac {1}{2}, \frac {1}{3}, \frac {1}{2} \right\} $$

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