Universo Científico - Cálculo de límites - Foro

Página 1 de 11
Foro » Departamento de Matemática » Teóricos » Cálculo de límites
Cálculo de límites
18-05-2013, 8:56 PM
Post: #1
Cálculo de límites

Tablas importantes para el cálculo de límites:

· Adición:



· Producto:



· Cociente:


· Exponencial:
De los siguientes límites, se puede deducir el comportamiento de las exponenciales.
$$ \lim_{x \to +∞} e^{x} = +∞ $$
$$ \lim_{x \to -∞} e^{x} = 0 $$
$$ \lim_{x \to 0} e^{x} = 1 $$
$$ \lim_{x \to a} e^{x} = e^{a}, a∈ℝ $$
· Logarítmos:
Algunas propiedades importantes acerca de logarítmos.
$$ \ln 1=0 $$
$$ ∄\ln 0 $$
Con lo que respecta esencialmente a límites.
$$ \lim_{x \to +∞} \ln(x) = +∞ $$
$$ \lim_{x \to 0^{+}} \ln(x) = -∞ $$
$$ ∄\lim_{x \to 0} \ln(x) $$$$ \lim_{x \to 0} \ln|x| = -∞ $$
$$ \lim_{x \to a} \ln(f(x)) = \ln f(a) $$

· Valor absoluto:
$$ \lim_{x \to +∞} |f(x)| = \lim_{x \to ∞} (f(x)) $$
$$ \lim_{x \to -∞} |f(x)| = \lim_{x \to -∞} (-f(x)) $$
$$ \lim_{x \to a} |f(x)| = \lim_{x \to a} (f(a)) $$

Algunas aclaraciones:
· En todos los casos se considera: \( (a,b)∈ℝ \).
· En los casos en que aparece \( ∞ \), debe considerarse la regla de los signos para conocer su resultado. Puede ser más o menos infinito.
· Los valores que aparecen en las tablas son los límites a los que tiende cada función.
· Recordemos que tanto la adición como el producto son conmutativas (no importa el orden).
· En todos los casos en que el resultado sea indeterminado, deben aplicarse métodos para levantar las indeterminaciones.

Teoremas:
· Teorema:
En toda función constante \( b \) se cumple que:
$$ \lim_{x \to a} b = b $$

· Teorema:
En toda función polinómica \( f(x) \) se cumple que:
$$ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) $$

· Teorema:
En toda función polinómica \( f(x) \) se cumple que:
$$ \lim_{x \to ±∞} f(x) = \lim_{x \to ±∞} (a_{0}·x^{n}) $$



· Teorema:
En toda función racional se cumple que:
$$ \lim_{x \to ±∞} \frac {f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to ±∞} \frac {a_{0}·x^{p}}{a_{0}'·x^{q}} $$


Archivo(s) adjunto(s): 7468325.png(4Kb) · 1174920.png(3Kb) · 4306356.png(4Kb)

¿No estás de acuerdo con lo que escribí? ¡por favor explícame tu punto de vista! :)

· No se resuelven problemas ni se responde a consultas sobre matemática, física ni química por mensaje privado.
· Si utilizas material de este sitio, no olvides citar la fuente.
· Si te sirvió lo que dije, puedes agradecerme aumentado mi reputación.
· Si ven que tengo una falta de ortografía un hechicero lo hizo.
18-05-2013, 9:00 PM
Post: #2
Funciones polinómicas

Métodos para salvar indeterminaciones:

· Indeterminación \( +∞-∞ \):


¿No estás de acuerdo con lo que escribí? ¡por favor explícame tu punto de vista! :)

· No se resuelven problemas ni se responde a consultas sobre matemática, física ni química por mensaje privado.
· Si utilizas material de este sitio, no olvides citar la fuente.
· Si te sirvió lo que dije, puedes agradecerme aumentado mi reputación.
· Si ven que tengo una falta de ortografía un hechicero lo hizo.
18-05-2013, 9:49 PM
Post: #3
Funciones racionales (cociente de funciones polinómicas):

Métodos para salvar indeterminaciones:

· Indeterminación \( \frac {0}{0} \):



· Indeterminación \( \frac {∞}{∞} \):



· Indeterminación \( 0·∞ \):


¿No estás de acuerdo con lo que escribí? ¡por favor explícame tu punto de vista! :)

· No se resuelven problemas ni se responde a consultas sobre matemática, física ni química por mensaje privado.
· Si utilizas material de este sitio, no olvides citar la fuente.
· Si te sirvió lo que dije, puedes agradecerme aumentado mi reputación.
· Si ven que tengo una falta de ortografía un hechicero lo hizo.
02-09-2013, 5:18 AM
Post: #4
Infinitésimos equivalentes:

Muchas veces, resulta muy complejo calcular algunos tipos de límites, como por ejemplo: exponenciales, logarítmicos y sobre todo cuando están mezclados. Por esta razón voy a explicar cómo calcular un límite, mejor dicho cómo levantar una indeterminación aplicando equivalentes.

En matemática, el símbolo que se utiliza para indicar que dos expresiones son equivalentes es \( ≈ \). Lo verás mucho en límites.

Cita
Tabla de equivalencias (importante):

1. Son válidas las siguientes equivalencias:
· Logarítmicas:
a. \( \ln (1+x) ≈ x \) cuando \( x \to 0 \)
b. \( \ln (x) ≈ x - 1 \) cuando \( x \to 1 \)

· Exponenciales:
c. \( e^{x} - 1 ≈ x \) cuando \( x \to 0 \)
d. \( a^{x} - 1 ≈ x·\ln (a) \) cuando \( x \to 0 \mbox{    ,} a>0 \)

2. Si \( \lim_{x \to a} f(x) = 0 \), entonces, se cumplen las siguientes equivalencias:
· Logarítmicas:
a. \( \ln (1+f(x)) ≈ f(x) \) cuando \( x \to 1 \)

· Exponenciales:
b. \( e^{f(x)} - 1 ≈ f(x) \) cuando \( x \to p \)
c. \( a^{f(x)} - 1 ≈ f(x)·\ln (a) \) cuando \( x \to p \mbox{    ,} a>0 \)

3. Si \( \lim_{x \to a} f(x) = 1 \), entonces, se cumplen las siguientes equivalencias:
· Logarítmicas:
a. \( \ln (f(x)) ≈ f(x)-1 \) cuando \( x \to 1 \)

· Exponenciales:
b. \( f(x)^{a} -1 ≈ a·(f(x)-1) \) cuando \( x \to p \)



¿No estás de acuerdo con lo que escribí? ¡por favor explícame tu punto de vista! :)

· No se resuelven problemas ni se responde a consultas sobre matemática, física ni química por mensaje privado.
· Si utilizas material de este sitio, no olvides citar la fuente.
· Si te sirvió lo que dije, puedes agradecerme aumentado mi reputación.
· Si ven que tengo una falta de ortografía un hechicero lo hizo.
02-09-2013, 5:59 AM
Post: #5
Ordenes:

Lo que venimos haciendo desde los primeros límites que calculamos (aunque no nos hayamos dado cuenta todavía), no es otra cosa que aplicar ordenes. Ahora vamos a formalizar un poco más este concepto y ver cómo, cuándo y dónde aplicarlo.

Ordenes nos permite prescindir de algunas partes obvias de las funciones, a veces.

Por ejemplo:
$$ \lim_{x \to +∞} x^2+x = +∞ $$
$$ \lim_{x \to +∞} x^2-5 = +∞ $$

Estas funciones son diferentes pero muy parecidas, en ambos casos de lo único que nos preocupamos fue de su término principal, aquel que posee la variable y la tiene elevada al mayor exponente, sólo esto nos importó para calcular el límite (o al menos así debería de haber sido).

El concepto de ordenes está muy ligado con la idea de cuál o cuáles términos hacen que la función llegue primero a infinito (o a números muy grandes).

Cita
A tener en cuenta: una función es equivalente a su factor de mayor orden.

Ordenes de los infinitos:
· Funciones potenciales:
Son de la forma: \( x^{n} \)

· Funciones logarítmicos:
Son de la forma: \( \ln {x} \)

· Funciones exponenciales:
Son de la forma: \( n^{x} \)

En todos los anteriores casos, \( n∈ℝ \).

Cita
Tener muy en cuenta la siguiente relación (con respecto al orden las funciones):

Exponenciales > Potenciales > Logarítmicas

Aplicar ordenes significa: quedarnos con los factores de mayor orden, olvidándonos de los demás.


Cita
Atención: sólo se puede aplicar ordenes en las indeterminaciones \( \frac {∞}{∞} \) y \( +∞-∞ \).

· Para el caso de indeterminaciones \( 0·∞ \):
Supongamos el siguiente caso:

$$ \lim_{x \to a} f(x)·g(x) = \lim_{x \to a} \frac {g(x)}{\frac {1}{f(x)}} $$
Cuando llegamos a esto, si \( f(x) \) y \( g(x) \) son de diferente orden, se puede aplicar ordenes.


¿No estás de acuerdo con lo que escribí? ¡por favor explícame tu punto de vista! :)

· No se resuelven problemas ni se responde a consultas sobre matemática, física ni química por mensaje privado.
· Si utilizas material de este sitio, no olvides citar la fuente.
· Si te sirvió lo que dije, puedes agradecerme aumentado mi reputación.
· Si ven que tengo una falta de ortografía un hechicero lo hizo.
Foro » Departamento de Matemática » Teóricos » Cálculo de límites
Página 1 de 11
Búscar:


Últimos cinco temas activos...
Tema Foro Autor Respuestas Último mensaje
PENDIENTE Ecuacion circunferencias Problemas sin resolver elva 1 08-03-2016 2:06 AM
Último mensaje: Admin
Geometría analítica en el plano: circunferencia Teóricos Admin 4 18-11-2015 10:57 PM
Último mensaje: joserodriguez0173
PENDIENTE Problema de dinamica, cañón unido a resorte Problemas sin resolver andremn 1 14-11-2015 3:18 PM
Último mensaje: jotazone10
PENDIENTE Ayuda con mi tarea :)), Resuelve la desigualdad Problemas sin resolver spayrro_234 0 30-08-2015 10:24 PM
Último mensaje: spayrro_234
Saludos a todos Presentaciones JOHN 0 02-01-2015 10:45 PM
Último mensaje: JOHN