Hipótesis:
\( f(x) \) es una función polinómica \(/ f(x) = a_{0}·x^{n} + a_{1}·x^{n-1}+...+a_{n-1}·x + a_{n} \)

Tesis:
$$ \lim_{x \to ±∞} f(x) = \lim_{x \to ±∞} (a_{0}·x^{n}) $$

Demostración:
$$ \lim_{x \to ±∞} f(x) = \lim_{x \to ±∞} a_{0}·x^{n} + a_{1}·x^{n-1}+...+a_{n-1}·x + a_{n} $$

Sacamos de factor común el término principal \( a_{0}·x^{n} \):
$$ \lim_{x \to ±∞} f(x) = \lim_{x \to ±∞} a_{0}·x^{n} (1 + \frac {a_{1}·x^{n-1}}{a_{0}·x^{n}}+...+ \frac{a_{n-1}·x}{a_{0}·x^{n}} + \frac{a_{n}}{a_{0}·x^{n}}) = a_{0}·x^{n} ∎ $$

Hipótesis:
\( f(x) \) es una función polinómica \(/ f(x) = a_{0}·x^{n} + a_{1}·x^{n-1}+...+a_{n-1}·x + a_{n} \)
\( g(x) \) es una función polinómica \(/ g(x) = a_{0}'·x^{n} + a_{1}'·x^{n-1}+...+a_{n-1}'·x + a_{n}' \)

Tesis:
$$ \lim_{x \to ±∞} \frac {f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to ±∞} \frac {a_{0}·x^{p}}{a_{0}'·x^{q}} $$

Demostración:
Partimos del caso anterior, este es un corolario del anterior, por lo tanto también es cierto.

$$ \lim_{x \to ±∞} (x^3 - 2·x + 1) $$

Se saca de factor común la variable de mayor exponente, resultando un límite de una función equivalente, a la que le corresponde el mismo límite:

$$ \lim_{x \to ±∞} (x^3 - 2·x + 1) = \lim_{x \to ±∞} x^3· \left (1 - \frac {2}{x^2} + \frac {1}{x^3}\right ) $$

Llegamos a que:
$$ \lim_{x \to ±∞} (x^3 - 2·x + 1) = ±∞ $$

$$ \lim_{x \to 3}  \left ( \frac {x^2 - 9}{x - 3} \right ) $$

Tratamos de factorizar en por medio de las raíces (es necesario que tengan raíces en común):
Sabemos que \( x^2 - 9 \) se puede escribir como: \( (x+3)·(x-3) \) y lo reemplazamos, porque es lo mismo.

$$ \lim_{x \to 3}  \left ( \frac {(x+3)·(x-3)}{x - 3} \right ) $$

Cancelamos el factor repetido en el numerador y denominador:

$$ \lim_{x \to 3} (x+3) = 6 $$

$$ \lim_{x \to ±∞}  \left ( \frac {x + 2}{x - 3} \right ) $$

Sacamos de factor común la variable:
$$ \lim_{x \to ±∞}  \left ( \frac {x·(1 + \frac {2}{x})}{x·(1 - \frac {3}{x})} \right ) $$

Cancelamos la variable repetida en el numerador y denominador:
$$ \lim_{x \to ±∞}  \left ( \frac {1 + \frac {2}{x}}{1 - \frac {3}{x}} \right ) $$

Calculamos el límite de cada uno y llegamos a:
$$ \lim_{x \to ±∞}  \left ( \frac {x + 2}{x - 3} \right ) = 1 $$

$$ \lim_{x \to -3} (x^2 + 6·x + 9)· \frac {1}{x+3} $$

Comprobamos que ambas tienen raíz \( x = -3 \), por lo que descomponemos el numerador por el teorema de descomposición factorial:
$$ \lim_{x \to -3} \frac {(x+3)·(x+3)}{x+3} $$

Cancelamos uno de los factores:
$$ \lim_{x \to -3} (x+3) = 0 $$

Vemos que si realizamos la simple sustitución \( f(0) \) llegamos a una indeterminación de \( \frac {0}{0} \), por lo que debemos levantar la indeterminación.

Vamos a aplicar equivalentes.

Vamos a estudiar el numerador:
$$ \lim_{x \to 0} e^{x}-1 = 0 $$
Como \( x \to 0 \) vamos a usar los equivalentes del segundo punto de la lista que está más arriba, más precisamente el 2.a.

$$ \lim_{x \to 0} \frac {e^{x}-1}{3·x} = \lim_{x \to 0} \frac {x}{3·x} $$

La variable \( x \) se repite tanto en numerador como denominador, así que podemos cancelarla.

$$ \lim_{x \to 0} \frac {e^{x}-1}{3·x} = \lim_{x \to 0} \frac {x}{3·x} = \frac {1}{3} $$

Como vemos, este camino es mucho más rápido y fácil.

Vamos a evaluar el logaritmando (la expresión que se encuentra dentro de los paréntesis del logaritmo, y no me refiero a su base).

$$ \lim_{x \to 0} (1+x) = 1 $$

Como \( x \to 1 \) estamos en presencia de uno de los del tercer caso de la lista que está más arriba (tabla de equivalencias), más precisamente la 3.a.

Por lo tanto:
$$ \lim_{x \to 0} \frac {1}{x}·((1+x) -1) = \lim_{x \to 0} \frac {1}{x}·x $$

La variable \( x \) se repite tanto en numerador como denominador, así que podemos cancelarla.

$$ \lim_{x \to 0} \frac {1}{x}·((1+x) -1) = \lim_{x \to 0} \frac {1}{x}·x = 1 $$

La función exponencial (la que está en el numerador) tiene mayor orden que la función potencial (la que se encuentra en el denominador), así que podemos llegar a la siguiente igualdad:

$$ \lim_{x \to +∞} \frac {e^2}{x} = \lim_{x \to +∞} e^2 $$

Procedemos a calcular el límite:
$$ \lim_{x \to +∞} \frac {e^2}{x} = \lim_{x \to +∞} e^2 = +∞ $$