Universo Científico :: Cálculo de límites

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Cálculo de límites

Tablas importantes para el cálculo de límites:

· Adición:

· Producto:

· Cociente:

· Exponencial:
De los siguientes límites, se puede deducir el comportamiento de las exponenciales.
$$ \lim_{x \to +∞} e^{x} = +∞ $$
$$ \lim_{x \to -∞} e^{x} = 0 $$
$$ \lim_{x \to 0} e^{x} = 1 $$
$$ \lim_{x \to a} e^{x} = e^{a}, a∈ℝ $$
· Logarítmos:
Algunas propiedades importantes acerca de logarítmos.
$$ \ln 1=0 $$
$$ ∄\ln 0 $$
Con lo que respecta esencialmente a límites.
$$ \lim_{x \to +∞} \ln(x) = +∞ $$
$$ \lim_{x \to 0^{+}} \ln(x) = -∞ $$
$$ ∄\lim_{x \to 0} \ln(x) $$$$ \lim_{x \to 0} \ln|x| = -∞ $$
$$ \lim_{x \to a} \ln(f(x)) = \ln f(a) $$

· Valor absoluto:
$$ \lim_{x \to +∞} |f(x)| = \lim_{x \to ∞} (f(x)) $$
$$ \lim_{x \to -∞} |f(x)| = \lim_{x \to -∞} (-f(x)) $$
$$ \lim_{x \to a} |f(x)| = \lim_{x \to a} (f(a)) $$

Algunas aclaraciones:
· En todos los casos se considera: $ (a,b)∈ℝ $.
· En los casos en que aparece $ ∞ $, debe considerarse la regla de los signos para conocer su resultado. Puede ser más o menos infinito.
· Los valores que aparecen en las tablas son los límites a los que tiende cada función.
· Recordemos que tanto la adición como el producto son conmutativas (no importa el orden).
· En todos los casos en que el resultado sea indeterminado, deben aplicarse métodos para levantar las indeterminaciones.

Teoremas:
· Teorema:
En toda función constante $ b $ se cumple que:
$$ \lim_{x \to a} b = b $$

· Teorema:
En toda función polinómica $ f(x) $ se cumple que:
$$ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) $$

· Teorema:
En toda función polinómica $ f(x) $ se cumple que:
$$ \lim_{x \to ±∞} f(x) = \lim_{x \to ±∞} (a_{0}·x^{n}) $$

· Teorema:
En toda función racional se cumple que:
$$ \lim_{x \to ±∞} \frac {f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to ±∞} \frac {a_{0}·x^{p}}{a_{0}'·x^{q}} $$

Funciones polinómicas

Métodos para salvar indeterminaciones:

· Indeterminación $ +∞-∞ $:

Funciones racionales (cociente de funciones polinómicas):

Métodos para salvar indeterminaciones:

· Indeterminación $ \frac {0}{0} $:

· Indeterminación $ \frac {∞}{∞} $:

· Indeterminación $ 0·∞ $:

Infinitésimos equivalentes:

Muchas veces, resulta muy complejo calcular algunos tipos de límites, como por ejemplo: exponenciales, logarítmicos y sobre todo cuando están mezclados. Por esta razón voy a explicar cómo calcular un límite, mejor dicho cómo levantar una indeterminación aplicando equivalentes.

En matemática, el símbolo que se utiliza para indicar que dos expresiones son equivalentes es $ ≈ $. Lo verás mucho en límites.

Cita

Tabla de equivalencias (importante):

1. Son válidas las siguientes equivalencias:
· Logarítmicas:
a. $ \ln (1+x) ≈ x $ cuando $ x \to 0 $
b. $ \ln (x) ≈ x - 1 $ cuando $ x \to 1 $

· Exponenciales:
c. $ e^{x} - 1 ≈ x $ cuando $ x \to 0 $
d. $ a^{x} - 1 ≈ x·\ln (a) $ cuando $ x \to 0 \mbox{ ,} a>0 $

2. Si $ \lim_{x \to a} f(x) = 0 $, entonces, se cumplen las siguientes equivalencias:
· Logarítmicas:
a. $ \ln (1+f(x)) ≈ f(x) $ cuando $ x \to 1 $

· Exponenciales:
b. $ e^{f(x)} - 1 ≈ f(x) $ cuando $ x \to p $
c. $ a^{f(x)} - 1 ≈ f(x)·\ln (a) $ cuando $ x \to p \mbox{ ,} a>0 $

3. Si $ \lim_{x \to a} f(x) = 1 $, entonces, se cumplen las siguientes equivalencias:
· Logarítmicas:
a. $ \ln (f(x)) ≈ f(x)-1 $ cuando $ x \to 1 $

· Exponenciales:
b. $ f(x)^{a} -1 ≈ a·(f(x)-1) $ cuando $ x \to p $

Ordenes:

Lo que venimos haciendo desde los primeros límites que calculamos (aunque no nos hayamos dado cuenta todavía), no es otra cosa que aplicar ordenes. Ahora vamos a formalizar un poco más este concepto y ver cómo, cuándo y dónde aplicarlo.

Ordenes nos permite prescindir de algunas partes obvias de las funciones, a veces.

Por ejemplo:
$$ \lim_{x \to +∞} x^2+x = +∞ $$
$$ \lim_{x \to +∞} x^2-5 = +∞ $$

Estas funciones son diferentes pero muy parecidas, en ambos casos de lo único que nos preocupamos fue de su término principal, aquel que posee la variable y la tiene elevada al mayor exponente, sólo esto nos importó para calcular el límite (o al menos así debería de haber sido).

El concepto de ordenes está muy ligado con la idea de cuál o cuáles términos hacen que la función llegue primero a infinito (o a números muy grandes).

Cita

A tener en cuenta: una función es equivalente a su factor de mayor orden.

Ordenes de los infinitos:
· Funciones potenciales:
Son de la forma: $ x^{n} $

· Funciones logarítmicos:
Son de la forma: $ \ln {x} $

· Funciones exponenciales:
Son de la forma: $ n^{x} $

En todos los anteriores casos, $ n∈ℝ $.

Cita

Tener muy en cuenta la siguiente relación (con respecto al orden las funciones):

Exponenciales > Potenciales > Logarítmicas

Aplicar ordenes significa: quedarnos con los factores de mayor orden, olvidándonos de los demás.

Cita

Atención: sólo se puede aplicar ordenes en las indeterminaciones $ \frac {∞}{∞} $ y $ +∞-∞ $.

· Para el caso de indeterminaciones $ 0·∞ $:
Supongamos el siguiente caso:

$$ \lim_{x \to a} f(x)·g(x) = \lim_{x \to a} \frac {g(x)}{\frac {1}{f(x)}} $$
Cuando llegamos a esto, si $ f(x) $ y $ g(x) $ son de diferente orden, se puede aplicar ordenes.

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