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Familia de rectas
14-05-2013, 11:29 PM
Post: #1
Familia de rectas

Definición:
Es un conjunto de rectas que cumplen una cierta condición.

Como ya sabremos, una recta es de la forma \( y = m·x + n \) o \( a·x + b·y + c = 0 \). Cuando hablamos de una familia de rectas, estamos hablando de una ecuación paramétrica de la recta. Las variables \( x \) e \( y \) deben ser de primer grado (de lo contrario no sería una recta). No, no es tan nueva la cosa. Mirá un ejemplo:

$$ y = a·x $$

Si decimos que \( a ∈ ℕ \), para cada valor de \( a \) voy a tener una recta.

Recordemos que si nos basamos en geometría euclidiana: infinitas rectas pasan por un mismo punto, por lo que en el caso anterior, habrán tantas rectas que pasen por ese punto como números reales hay (hay infinitos números reales).

Cita
Un parámetro está representado por una letra del alfabeto latino o griego que no sea \( x \) ni \( y \).

Pero hay más complejas:
$$ y = (k + 8)·x + k - 2 $$
$$ y = 2·b·x - b $$
$$ y = (h^2 + 3·h - 2)·x + 4·h $$
$$ (s + 2)·x + (4·s + 1)·y + s - 2 = 0 $$

Ya te veo preguntándote, y ¿qué tipos de ejercicios me pueden preguntar sobre esto? Bueno, todo iba muy lindo, pero ahora la cosa es saber si esas ecuaciones forman o no un haz, y si lo hacen, cómo es. O hallar la familia de rectas que pasan por un punto, etc.

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14-05-2013, 11:40 PM
Post: #2
Haces de rectas:

· Haz propio: conjunto de infinitas rectas que corruen en un mismo punto, llamado centro del haz.



· Haz impropio: conjunto de infinitas rectas, todas paralelas a una dirección dada.



· No forman haz: que no sea ninguna de las anteriores.


Archivo(s) adjunto(s): 5002665.png(30Kb) · 3389818.png(27Kb) · 2471365.png(28Kb)

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15-05-2013, 0:13 AM
Post: #3
· Haz de rectas que pasan por un punto:
Sea el punto \( P(x_{A}, y_{A}) \), la ecuación paramétrica de las rectas que pasan por él es:
$$ a·(x-x_{A}) + b·(y-y_{B}) = 0 $$
En el caso anterior \( a \) y \( b \) son los parámetros. Les daremos números reales y hallaremos las rectas que pasan por el punto. Recordar que ambos no pueden ser nulos al mismo tiempo, ya que sino no habría recta, recordemos que para que exista una recta, debe poseer al menos una variable \( x \) o \( y \).

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18-05-2013, 5:20 AM
Post: #4
Envolvente de la familia de rectas:

Definición:
Es el lugar geométricos de los puntos del plano, por lo cuales pasa una y sólo una recta de la familia.


Existen infinitas rectas tangentes a la cfa, en el anterior dibujo, grafiqué algunas rectas.

Observaciones:
· Por los puntos de la cfa pasa una y sólo una recta de la familia.
· Por los puntos exteriores de la cfa pasan dos rectas de la familia.
· Por los puntos interiores de la cfa no pasan rectas de la familia.

Archivo(s) adjunto(s): 4237887.png(84Kb)

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