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Límite de una función
08-05-2013, 10:53 PM
Post: #1
Límite de una función

Explicación:
El límite de una función \( f(x) \), cuando \( x \to a \), es el estudio de los valores funcionales, muy cerca de \( x = a \), pero nunca de este valor.

¿No estás de acuerdo con lo que escribí? ¡por favor explícame tu punto de vista! :)

· No se resuelven problemas ni se responde a consultas sobre matemática, física ni química por mensaje privado.
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· Si te sirvió lo que dije, puedes agradecerme aumentado mi reputación.
· Si ven que tengo una falta de ortografía un hechicero lo hizo.
08-05-2013, 10:56 PM
Post: #2
Límite finito:

Notación:
$$ \lim_{x \to a} f(x) = b $$

Definición:
$$ \lim_{x \to c} f(x) = L ⇔ ∀ε>0,∃δ>0/\mbox{si }x∈E_{(c,δ)}^{*} ⇒ f(x) ∈E_{(L,ε)} $$


· Condición de existencia del límite finito:
Existe el límite de una función cuando tiende a un número finito, si y sólo si sus límites laterales para dicho valor estudiado, son iguales.
$$ ∃\lim_{x \to a} f(x) ⇔ \lim_{x \to a^{+}} f(x) = \lim_{x \to a^{-}} f(x) $$

Archivo(s) adjunto(s): 0731563.png(16Kb)

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10-05-2013, 10:51 PM
Post: #3
Teoremas de los límites finitos:
Teorema de unicidad del límite:

Enunciado:
Si el límite de una función existe, es único.

Teorema de conservación del signo:

Enunciado:
Para valores de \( x \) suficientemente próximos al valor de tendencia, la función tiene el mismo signo que su límite.

Teorema de la función comprendida:

Enunciado:
Si los valores de una función están comprendidos entre los de otras dos que tienen igual límite para \( x \to a \), entonces la función tiene el mismo límite.

Teorema fundamental en el cálculo de límites:

Enunciado:
Una función tiene límite finito si y sólo si el límite por la izquierda es igual al límite por la derecha.

Propiedades de los límites finitos:
Límite de la suma:

Enunciado:
El límite de una suma es igual a la suma de los límites de cada término, siempre que estos límites sean finitos.

Límite del producto:

Enunciado:
El límite de un producto es igual al producto de los límites de cada factor, siempre que estos límites sean finitos.

Límite de un cociente:

Enunciado:
El límite de un cociente es igual al cociente de los límites de cada factor, siempre que estos límites sean finitos y el límite del denominador sea distinto de cero.

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10-05-2013, 11:11 PM
Post: #4
Límites laterales:

Los límites laterales de una función en un punto de esta, nos permite conocer por qué valor nos acercamos, si por valores menores o por mayores.

Esto es muy importante cuando, por ejemplo, el resultado de un límite nos da 0. ¿Nos acercamos por valores positivos o negativos al cero? Esto lo podremos averiguar calculando sus límites laterales.

Límite lateral derecho:
$$ \lim_{x \to a^+} f(x) = b $$

Límite lateral izquierdo:
$$ \lim_{x \to a^-} f(x) = b $$

Ahora supongamos la siguiente función ejemplo:
$$ f(x) = \begin{cases} 4 & \mbox{si } x>1 \\ 2 & \mbox{si } x=1 \\ 4 & \mbox{si } x<1 \end{cases} $$

Lo grafico:

Y por último, supongamos que se nos pide calcular el siguiente límite:
$$ \lim_{x \to 1} f(x)  $$

¿El límite existe? ¿Cuánto da este límite?

Para calcular este límite, haremos hincapié en los límites laterales:
$$ \lim_{x \to 1^+} f(x) = 4  $$
$$ \lim_{x \to 1^-} f(x) = 4  $$

Y ahora podemos afirmar que:
$$ \lim_{x \to 1} f(x) = 4  $$

Ya te estás preguntando: ¿de qué me perdí? Pues, vamos a ver algunas cosas:
· La condición necesariamente y suficiente para que el límite de una función exista en un punto \( x=a \) es que existan sus límites laterales y que estos sean iguales.
· El límite de una función cuando tiende a \( x = a \) es el mismo al de sus límites laterales.
· Si no existen los límites laterales o estos son diferentes entre sí, no existirá el límite de la función en dicho punto.

Ejemplo:
Supongamos la función: \( g(x) = \frac {1}{x} \), se nos pide calcular el siguiente límite:
$$ \lim_{x \to 0} g(x) $$

Lo grafico (para los que no conocen esta función):


Para activar las neuronas, vamos a calcular los límites laterales:
$$ \lim_{x \to 0^+} g(x) = +∞  $$
$$ \lim_{x \to 0^-} g(x) = -∞  $$

Como los límites laterales cuando \( x \to 0 \) son diferentes, afirmaré que el límite en dicho punto de abscisa no existe.


Ya hemos visto casos peculiares, ahora veamos casos más normales del cálculo de límites laterales.

Ejemplo:
Sea la función \( h(x) = 2·x \), se pretende calcular los siguientes límites:
$$ \lim_{x \to 2^+} h(x) $$
$$ \lim_{x \to 2^-} h(x) $$

La grafico (para los despistados):


Como vemos, es una función continua, con poca gracia. Y veamos algo interesante:
$$ \lim_{x \to 2^+} h(x) = 4 $$
$$ \lim_{x \to 2^-} h(x) = 4 $$

En este caso, podemos afirmar lo siguiente:
$$ \lim_{x \to 2} h(x) = 4 $$

Acotaciones:
· Toda función polinómica es continua.

Archivo(s) adjunto(s): 3395643.gif(339Kb) · 4526691.png(32Kb) · 3654009.png(51Kb) · 6239643.png(42Kb)

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17-07-2013, 7:50 PM
Post: #5
Infinitésimos:

Definición:
\( f \) es un infinitésimo \( ⇔ \lim_{x \to a} f(x) = 0 \).

El valor de tendencia puede ser un número cualquiera, inclusive cero y hasta infinito.

Propiedades:
· La suma de un número finito de infinitésimos es otro infinitésimo, para la misma tendencia en \( x \).
· El producto de un número finito de infinitésimos es también un infinitésimo, para la misma tendencia en \( x \).
· Si \( f \) es un infinitésimo cuando \( x \to a \) y \( h \) es una función acotada en un \( E^{*}_{(a, \delta)} \), entonces \( f·h \) es un infinitésimo cuando \( x \to a \).

Orden de los infinitésimos:
Sirve para comparar el orden de dos infinitésimos.

Basémonos en lo siguiente:
$$ \lim_{x \to a} f(x) = 0 ∧ \lim_{x \to a} g(x) = 0 ∧ g(x) ≠ 0 \mbox { en } E^{*}_{(a,\delta)} ⇒ \lim_{x \to a} \frac {f(x)}{g(x)} = k $$

Dependiendo de los valores de \( k \), podremos conocer su orden:


Infinitésimos equivalentes:

Definición:
Dos infinitésimos cuando \( x \to a \) son equivalentes si el límite del cociente de comparación es 1.

Expresado matemáticamente:
$$ \lim_{x \to a} \frac {f(x)}{g(x)} = 1 $$

Archivo(s) adjunto(s): 6655952.png(34Kb)

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15-08-2013, 6:49 PM
Post: #6
Infinitos

No todas las funciones crecen de igual forma, hay algunas que lo hacen a "mayor velocidad" que otras.

Veamos el siguiente gráfico:


$$ f(x) = e^{x} $$
$$ g(x) = x $$
$$ h(x) = \log x $$

· La función \( f(x) \) corresponde al de una función exponencial.
· La función \( g(x) \) corresponde al de una función potencial.
· La función \( h(x) \) corresponde al de una función logarítmica.

Como vemos, la que crece a "mayor velocidad" es la función exponencial, con esto me refiero que a menor abscisa alcanzará mayor ordenada con respecto a las otras funciones. Esto nos permite afirmar que la función exponencial es la que "llega más rápidamente" a infinito.

Órdenes:

Los órdenes nos permiten conocer qué tipos de funciones llegan más rápido a infinito:

Exponencial > Potencial > Logarítmica

Esto es muy último para cuando se dan indeterminaciones de cuando un límite tiende a infinito, nos podemos quedar con aquellos de mayor orden, y "olvidarnos" de aquellos con menor orden.

Acotaciones:
· Sólo se puede aplicar órdenes cuando se están realizando operaciones de multiplicación o división, en los casos de suma o resta esto no está permitido ya que no se cumple.

Archivo(s) adjunto(s): 8982023.png(47Kb)

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