| Foro Teóricos Límite de una función |
| Límite de una función |
08-05-2013, 10:53 PM
|
08-05-2013, 10:56 PM
Límite finito:
Notación: $$ \lim_{x \to a} f(x) = b $$ Definición: $$ \lim_{x \to c} f(x) = L ⇔ ∀ε>0,∃δ>0/\mbox{si }x∈E_{(c,δ)}^{*} ⇒ f(x) ∈E_{(L,ε)} $$  · Condición de existencia del límite finito: Existe el límite de una función cuando tiende a un número finito, si y sólo si sus límites laterales para dicho valor estudiado, son iguales. $$ ∃\lim_{x \to a} f(x) ⇔ \lim_{x \to a^{+}} f(x) = \lim_{x \to a^{-}} f(x) $$ |
10-05-2013, 10:51 PM
|
10-05-2013, 11:11 PM
Límites laterales:
Los límites laterales de una función en un punto de esta, nos permite conocer por qué valor nos acercamos, si por valores menores o por mayores. Esto es muy importante cuando, por ejemplo, el resultado de un límite nos da 0. ¿Nos acercamos por valores positivos o negativos al cero? Esto lo podremos averiguar calculando sus límites laterales. Límite lateral derecho: $$ \lim_{x \to a^+} f(x) = b $$ Límite lateral izquierdo: $$ \lim_{x \to a^-} f(x) = b $$ Ahora supongamos la siguiente función ejemplo: $$ f(x) = \begin{cases} 4 & \mbox{si } x>1 \\ 2 & \mbox{si } x=1 \\ 4 & \mbox{si } x<1 \end{cases} $$ Lo grafico:  Y por último, supongamos que se nos pide calcular el siguiente límite: $$ \lim_{x \to 1} f(x) $$ ¿El límite existe? ¿Cuánto da este límite? Para calcular este límite, haremos hincapié en los límites laterales: $$ \lim_{x \to 1^+} f(x) = 4 $$ $$ \lim_{x \to 1^-} f(x) = 4 $$ Y ahora podemos afirmar que: $$ \lim_{x \to 1} f(x) = 4 $$ Ya te estás preguntando: ¿de qué me perdí? Pues, vamos a ver algunas cosas: · La condición necesariamente y suficiente para que el límite de una función exista en un punto \( x=a \) es que existan sus límites laterales y que estos sean iguales. · El límite de una función cuando tiende a \( x = a \) es el mismo al de sus límites laterales. · Si no existen los límites laterales o estos son diferentes entre sí, no existirá el límite de la función en dicho punto. Ejemplo: Supongamos la función: \( g(x) = \frac {1}{x} \), se nos pide calcular el siguiente límite: $$ \lim_{x \to 0} g(x) $$ Lo grafico (para los que no conocen esta función):  Para activar las neuronas, vamos a calcular los límites laterales: $$ \lim_{x \to 0^+} g(x) = +∞ $$ $$ \lim_{x \to 0^-} g(x) = -∞ $$ Como los límites laterales cuando \( x \to 0 \) son diferentes, afirmaré que el límite en dicho punto de abscisa no existe.  Ya hemos visto casos peculiares, ahora veamos casos más normales del cálculo de límites laterales. Ejemplo: Sea la función \( h(x) = 2·x \), se pretende calcular los siguientes límites: $$ \lim_{x \to 2^+} h(x) $$ $$ \lim_{x \to 2^-} h(x) $$ La grafico (para los despistados):  Como vemos, es una función continua, con poca gracia. Y veamos algo interesante: $$ \lim_{x \to 2^+} h(x) = 4 $$ $$ \lim_{x \to 2^-} h(x) = 4 $$ En este caso, podemos afirmar lo siguiente: $$ \lim_{x \to 2} h(x) = 4 $$ Acotaciones: · Toda función polinómica es continua. |
17-07-2013, 7:50 PM
Infinitésimos:
Definición: \( f \) es un infinitésimo \( ⇔ \lim_{x \to a} f(x) = 0 \). El valor de tendencia puede ser un número cualquiera, inclusive cero y hasta infinito. Propiedades: · La suma de un número finito de infinitésimos es otro infinitésimo, para la misma tendencia en \( x \). · El producto de un número finito de infinitésimos es también un infinitésimo, para la misma tendencia en \( x \). · Si \( f \) es un infinitésimo cuando \( x \to a \) y \( h \) es una función acotada en un \( E^{*}_{(a, \delta)} \), entonces \( f·h \) es un infinitésimo cuando \( x \to a \). Orden de los infinitésimos: Sirve para comparar el orden de dos infinitésimos. Basémonos en lo siguiente: $$ \lim_{x \to a} f(x) = 0 ∧ \lim_{x \to a} g(x) = 0 ∧ g(x) ≠ 0 \mbox { en } E^{*}_{(a,\delta)} ⇒ \lim_{x \to a} \frac {f(x)}{g(x)} = k $$ Dependiendo de los valores de \( k \), podremos conocer su orden:  Infinitésimos equivalentes: Definición: Dos infinitésimos cuando \( x \to a \) son equivalentes si el límite del cociente de comparación es 1. Expresado matemáticamente: $$ \lim_{x \to a} \frac {f(x)}{g(x)} = 1 $$ |
15-08-2013, 6:49 PM
Infinitos
No todas las funciones crecen de igual forma, hay algunas que lo hacen a "mayor velocidad" que otras. Veamos el siguiente gráfico:  $$ f(x) = e^{x} $$ $$ g(x) = x $$ $$ h(x) = \log x $$ · La función \( f(x) \) corresponde al de una función exponencial. · La función \( g(x) \) corresponde al de una función potencial. · La función \( h(x) \) corresponde al de una función logarítmica. Como vemos, la que crece a "mayor velocidad" es la función exponencial, con esto me refiero que a menor abscisa alcanzará mayor ordenada con respecto a las otras funciones. Esto nos permite afirmar que la función exponencial es la que "llega más rápidamente" a infinito. Órdenes: Los órdenes nos permiten conocer qué tipos de funciones llegan más rápido a infinito: Exponencial > Potencial > Logarítmica Esto es muy último para cuando se dan indeterminaciones de cuando un límite tiende a infinito, nos podemos quedar con aquellos de mayor orden, y "olvidarnos" de aquellos con menor orden. Acotaciones: · Sólo se puede aplicar órdenes cuando se están realizando operaciones de multiplicación o división, en los casos de suma o resta esto no está permitido ya que no se cumple. |
Lo sentimos, pero sólo los usuarios registrados pueden tener acceso a este contenido. Si aún no eres usuario, puedes registrarte haciendo click aquí, y si ya lo eres, simplemente debes loguearte.