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Límite de una función |
08-05-2013, 10:53 PM
Post: #1
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Límite de una función
Explicación: El límite de una función \( f(x) \), cuando \( x \to a \), es el estudio de los valores funcionales, muy cerca de \( x = a \), pero nunca de este valor. ¿No estás de acuerdo con lo que escribí? ¡por favor explícame tu punto de vista! :) · No se resuelven problemas ni se responde a consultas sobre matemática, física ni química por mensaje privado. · Si utilizas material de este sitio, no olvides citar la fuente. · Si te sirvió lo que dije, puedes agradecerme aumentado mi reputación. · Si ven que tengo una falta de ortografía un hechicero lo hizo. |
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08-05-2013, 10:56 PM
Post: #2
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Límite finito:
Notación: $$ \lim_{x \to a} f(x) = b $$ Definición: $$ \lim_{x \to c} f(x) = L ⇔ ∀ε>0,∃δ>0/\mbox{si }x∈E_{(c,δ)}^{*} ⇒ f(x) ∈E_{(L,ε)} $$ · Condición de existencia del límite finito: Existe el límite de una función cuando tiende a un número finito, si y sólo si sus límites laterales para dicho valor estudiado, son iguales. $$ ∃\lim_{x \to a} f(x) ⇔ \lim_{x \to a^{+}} f(x) = \lim_{x \to a^{-}} f(x) $$ ¿No estás de acuerdo con lo que escribí? ¡por favor explícame tu punto de vista! :) · No se resuelven problemas ni se responde a consultas sobre matemática, física ni química por mensaje privado. · Si utilizas material de este sitio, no olvides citar la fuente. · Si te sirvió lo que dije, puedes agradecerme aumentado mi reputación. · Si ven que tengo una falta de ortografía un hechicero lo hizo. |
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10-05-2013, 10:51 PM
Post: #3
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Teoremas de los límites finitos:
Teorema de unicidad del límite: Enunciado: Si el límite de una función existe, es único. Teorema de conservación del signo: Enunciado: Para valores de \( x \) suficientemente próximos al valor de tendencia, la función tiene el mismo signo que su límite. Teorema de la función comprendida: Enunciado: Si los valores de una función están comprendidos entre los de otras dos que tienen igual límite para \( x \to a \), entonces la función tiene el mismo límite. Teorema fundamental en el cálculo de límites: Enunciado: Una función tiene límite finito si y sólo si el límite por la izquierda es igual al límite por la derecha. Propiedades de los límites finitos: Límite de la suma: Enunciado: El límite de una suma es igual a la suma de los límites de cada término, siempre que estos límites sean finitos. Límite del producto: Enunciado: El límite de un producto es igual al producto de los límites de cada factor, siempre que estos límites sean finitos. Límite de un cociente: Enunciado: El límite de un cociente es igual al cociente de los límites de cada factor, siempre que estos límites sean finitos y el límite del denominador sea distinto de cero. ¿No estás de acuerdo con lo que escribí? ¡por favor explícame tu punto de vista! :) · No se resuelven problemas ni se responde a consultas sobre matemática, física ni química por mensaje privado. · Si utilizas material de este sitio, no olvides citar la fuente. · Si te sirvió lo que dije, puedes agradecerme aumentado mi reputación. · Si ven que tengo una falta de ortografía un hechicero lo hizo. |
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10-05-2013, 11:11 PM
Post: #4
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Límites laterales:
Los límites laterales de una función en un punto de esta, nos permite conocer por qué valor nos acercamos, si por valores menores o por mayores. Esto es muy importante cuando, por ejemplo, el resultado de un límite nos da 0. ¿Nos acercamos por valores positivos o negativos al cero? Esto lo podremos averiguar calculando sus límites laterales. Límite lateral derecho: $$ \lim_{x \to a^+} f(x) = b $$ Límite lateral izquierdo: $$ \lim_{x \to a^-} f(x) = b $$ Ahora supongamos la siguiente función ejemplo: $$ f(x) = \begin{cases} 4 & \mbox{si } x>1 \\ 2 & \mbox{si } x=1 \\ 4 & \mbox{si } x<1 \end{cases} $$ Lo grafico: Y por último, supongamos que se nos pide calcular el siguiente límite: $$ \lim_{x \to 1} f(x) $$ ¿El límite existe? ¿Cuánto da este límite? Para calcular este límite, haremos hincapié en los límites laterales: $$ \lim_{x \to 1^+} f(x) = 4 $$ $$ \lim_{x \to 1^-} f(x) = 4 $$ Y ahora podemos afirmar que: $$ \lim_{x \to 1} f(x) = 4 $$ Ya te estás preguntando: ¿de qué me perdí? Pues, vamos a ver algunas cosas: · La condición necesariamente y suficiente para que el límite de una función exista en un punto \( x=a \) es que existan sus límites laterales y que estos sean iguales. · El límite de una función cuando tiende a \( x = a \) es el mismo al de sus límites laterales. · Si no existen los límites laterales o estos son diferentes entre sí, no existirá el límite de la función en dicho punto. Ejemplo: Supongamos la función: \( g(x) = \frac {1}{x} \), se nos pide calcular el siguiente límite: $$ \lim_{x \to 0} g(x) $$ Lo grafico (para los que no conocen esta función): Para activar las neuronas, vamos a calcular los límites laterales: $$ \lim_{x \to 0^+} g(x) = +∞ $$ $$ \lim_{x \to 0^-} g(x) = -∞ $$ Como los límites laterales cuando \( x \to 0 \) son diferentes, afirmaré que el límite en dicho punto de abscisa no existe. Ya hemos visto casos peculiares, ahora veamos casos más normales del cálculo de límites laterales. Ejemplo: Sea la función \( h(x) = 2·x \), se pretende calcular los siguientes límites: $$ \lim_{x \to 2^+} h(x) $$ $$ \lim_{x \to 2^-} h(x) $$ La grafico (para los despistados): Como vemos, es una función continua, con poca gracia. Y veamos algo interesante: $$ \lim_{x \to 2^+} h(x) = 4 $$ $$ \lim_{x \to 2^-} h(x) = 4 $$ En este caso, podemos afirmar lo siguiente: $$ \lim_{x \to 2} h(x) = 4 $$ Acotaciones: · Toda función polinómica es continua. ¿No estás de acuerdo con lo que escribí? ¡por favor explícame tu punto de vista! :) · No se resuelven problemas ni se responde a consultas sobre matemática, física ni química por mensaje privado. · Si utilizas material de este sitio, no olvides citar la fuente. · Si te sirvió lo que dije, puedes agradecerme aumentado mi reputación. · Si ven que tengo una falta de ortografía un hechicero lo hizo. |
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17-07-2013, 7:50 PM
Post: #5
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Infinitésimos:
Definición: \( f \) es un infinitésimo \( ⇔ \lim_{x \to a} f(x) = 0 \). El valor de tendencia puede ser un número cualquiera, inclusive cero y hasta infinito. Propiedades: · La suma de un número finito de infinitésimos es otro infinitésimo, para la misma tendencia en \( x \). · El producto de un número finito de infinitésimos es también un infinitésimo, para la misma tendencia en \( x \). · Si \( f \) es un infinitésimo cuando \( x \to a \) y \( h \) es una función acotada en un \( E^{*}_{(a, \delta)} \), entonces \( f·h \) es un infinitésimo cuando \( x \to a \). Orden de los infinitésimos: Sirve para comparar el orden de dos infinitésimos. Basémonos en lo siguiente: $$ \lim_{x \to a} f(x) = 0 ∧ \lim_{x \to a} g(x) = 0 ∧ g(x) ≠ 0 \mbox { en } E^{*}_{(a,\delta)} ⇒ \lim_{x \to a} \frac {f(x)}{g(x)} = k $$ Dependiendo de los valores de \( k \), podremos conocer su orden: Infinitésimos equivalentes: Definición: Dos infinitésimos cuando \( x \to a \) son equivalentes si el límite del cociente de comparación es 1. Expresado matemáticamente: $$ \lim_{x \to a} \frac {f(x)}{g(x)} = 1 $$ ¿No estás de acuerdo con lo que escribí? ¡por favor explícame tu punto de vista! :) · No se resuelven problemas ni se responde a consultas sobre matemática, física ni química por mensaje privado. · Si utilizas material de este sitio, no olvides citar la fuente. · Si te sirvió lo que dije, puedes agradecerme aumentado mi reputación. · Si ven que tengo una falta de ortografía un hechicero lo hizo. |
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15-08-2013, 6:49 PM
Post: #6
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Infinitos
No todas las funciones crecen de igual forma, hay algunas que lo hacen a "mayor velocidad" que otras. Veamos el siguiente gráfico: $$ f(x) = e^{x} $$ $$ g(x) = x $$ $$ h(x) = \log x $$ · La función \( f(x) \) corresponde al de una función exponencial. · La función \( g(x) \) corresponde al de una función potencial. · La función \( h(x) \) corresponde al de una función logarítmica. Como vemos, la que crece a "mayor velocidad" es la función exponencial, con esto me refiero que a menor abscisa alcanzará mayor ordenada con respecto a las otras funciones. Esto nos permite afirmar que la función exponencial es la que "llega más rápidamente" a infinito. Órdenes: Los órdenes nos permiten conocer qué tipos de funciones llegan más rápido a infinito: Exponencial > Potencial > Logarítmica Esto es muy último para cuando se dan indeterminaciones de cuando un límite tiende a infinito, nos podemos quedar con aquellos de mayor orden, y "olvidarnos" de aquellos con menor orden. Acotaciones: · Sólo se puede aplicar órdenes cuando se están realizando operaciones de multiplicación o división, en los casos de suma o resta esto no está permitido ya que no se cumple. ¿No estás de acuerdo con lo que escribí? ¡por favor explícame tu punto de vista! :) · No se resuelven problemas ni se responde a consultas sobre matemática, física ni química por mensaje privado. · Si utilizas material de este sitio, no olvides citar la fuente. · Si te sirvió lo que dije, puedes agradecerme aumentado mi reputación. · Si ven que tengo una falta de ortografía un hechicero lo hizo. |
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