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Congruencia
10-02-2013, 11:34 PM
Post: #1
Definición:
Dos números naturales \( a \) y \( b \) se denominan congruentes según el módulo \( m \), si y sólo si al dividirlos entre \( m \), se obtienen restos iguales.

Notación:
\( a ≡ b \pmod{m} \)



Ejemplos:
\( 17 ≡ 2 \pmod{3} \)
\( 77 ≡ 49 \pmod{7} \)
\( 17 ≡ 2 \pmod{5} \)

Propiedades:
· Idéntica:
\( a ≡ a \pmod{m} \)

· Recíproca:
\( a ≡ b \pmod{m} ⇔ b ≡ a \pmod{m} \)

· Transitiva:
\( a ≡ b \pmod{m} ∧ b ≡ c \pmod{m} ⇒ a ≡ c \pmod{m} \)

Quote
Existen \( m \) clases de equivalencia en cada módulo \( m \).


Quote
Condición:
Dados los números naturales \( a \) y \( b \), \( a ≥ b \), la condición necesaria y suficiente para que \( a \) sea congruente con \( b \) en el módulo \( m \) es que \( a - b \) sea múltiplo de \( m \).

$$ a ≡ b \pmod{m} ⇔ a - b = \dot m $$

Archivo(s) adjunto(s): 9410648.png(4Kb)

¿No estás de acuerdo con lo que escribí? ¡por favor explícame tu punto de vista! :)

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· Si ven que tengo una falta de ortografía un hechicero lo hizo.
15-03-2013, 11:11 PM
Post: #2
Teoremas:

1. Si se suma (multiplica o resta cuando es posible) a ambos miembros de una congruencia un mismo número se obtiene una congruencia del mismo módulo.
2. Si se divide a ambos miembros de una congruencia por un mismo número primo con el módulo, se obtiene una nueva congruencia del mismo módulo.
3. Si se suman (multiplican, restan cuando es posible) miembro a miembro dos congruencias del mismo módulo, se obtiene una nueva congruencia en ese módulo.
4. \( a ≡ b \pmod{m} ⇒ a^n ≡ b^n \pmod{m} \)
5. $$ a ≡ b \pmod{m}, c ≡ d \pmod{m}, a = \dot c, b = \dot c, D(c,m) = 1 ⇒ \frac {a}{c} ≡ \frac {b}{d} \pmod{m} $$
6. Congruencia de Fermat:
$$ a ≠ \dot p ⇒ a^{p-1} ≡ 1 \pmod{p}, p \mbox{ es primo} $$

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