Universo Científico :: Congruencia

Página 1 de 1
1

Definición:
Dos números naturales $ a $ y $ b $ se denominan congruentes según el módulo $ m $, si y sólo si al dividirlos entre $ m $, se obtienen restos iguales.

Notación:
$ a ≡ b \pmod{m} $

Ejemplos:
$ 17 ≡ 2 \pmod{3} $
$ 77 ≡ 49 \pmod{7} $
$ 17 ≡ 2 \pmod{5} $

Propiedades:
· Idéntica:
$ a ≡ a \pmod{m} $

· Recíproca:
$ a ≡ b \pmod{m} ⇔ b ≡ a \pmod{m} $

· Transitiva:
$ a ≡ b \pmod{m} ∧ b ≡ c \pmod{m} ⇒ a ≡ c \pmod{m} $

Quote

Existen $ m $ clases de equivalencia en cada módulo $ m $.

Quote

Condición:
Dados los números naturales $ a $ y $ b $, $ a ≥ b $, la condición necesaria y suficiente para que $ a $ sea congruente con $ b $ en el módulo $ m $ es que $ a - b $ sea múltiplo de $ m $.

$$ a ≡ b \pmod{m} ⇔ a - b = \dot m $$

Teoremas:

1. Si se suma (multiplica o resta cuando es posible) a ambos miembros de una congruencia un mismo número se obtiene una congruencia del mismo módulo.
2. Si se divide a ambos miembros de una congruencia por un mismo número primo con el módulo, se obtiene una nueva congruencia del mismo módulo.
3. Si se suman (multiplican, restan cuando es posible) miembro a miembro dos congruencias del mismo módulo, se obtiene una nueva congruencia en ese módulo.
4. $ a ≡ b \pmod{m} ⇒ a^n ≡ b^n \pmod{m} $
5. $$ a ≡ b \pmod{m}, c ≡ d \pmod{m}, a = \dot c, b = \dot c, D(c,m) = 1 ⇒ \frac {a}{c} ≡ \frac {b}{d} \pmod{m} $$
6. Congruencia de Fermat:
$$ a ≠ \dot p ⇒ a^{p-1} ≡ 1 \pmod{p}, p \mbox{ es primo} $$

Página 1 de 1
1

Universo Científico

Admin

Admin