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Divisibilidad en ℕ
15-01-2013, 1:19 PM
Post: #1
Divisibilidad en ℕ
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15-01-2013, 1:22 PM
Post: #2
Divisor de un número natural:

Definición:
Dados dos números \( a∈ℕ \) y \( a∈ℕ^{*} \), decimos que el número \( a \) es divisor del número \( b \), denotado como \( a | b \), si y sólo si, existe un natural \( k \), tal que \( a·k = b \).

$$ a | b ⇔ ∃k, k∈ℕ / a·k = b $$

Observaciones:
· El número 1 es divisor de todos los naturales.
· Todo número natural distinto de cero es divisor de sí mismo.
· El cero no es divisor de ningún número natural.

Divisores de un número:
\( d(12) = {1,2,3,4,6,12} \)

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15-01-2013, 1:28 PM
Post: #3
Múltiplo de un número natural:

Definición:
Decimos que \( b \) es múltiplo de \( a \), denotado como \( b = \dot a \), si y sólo si \( a \) es divisor de \(b\).

$$ b = \dot a ⇔ a | b $$

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15-01-2013, 1:35 PM
Post: #4
Teorema I:
Si un número \( x \) (\( x∈ℕ^{*} \), es divisor de dos naturales \( a \) y \( b \), entonces es divisor de su suma.

Hipótesis:
\( x|a ∧ x|b \)

Tesis:
\( x|(a+b) \)

Demostración:
por hipótesis:
\( x|a ⇔ ∃k, k∈ℕ / x·k = a \)
\( x|b ⇔ ∃h, h∈ℕ / x·h = b \)
Sumamos miembro a miembro ambas igualdades:
\( x·k + x·h = a + b ⇒_{distributiva} x·(k + h) = a + b \)

Corolario:
\( a = \dot x ∧ b = \dot x ⇒ a + b = \dot x \)

Teorema II:
Si un número natural \( x \), es divisor de un número natural \( a \), entonces es divisor de cualquier múltiplo \( (m·a) \) de él.

Hipótesis:
\( x | a \)

Tesis:
\( x|(m·a) ∀m, m∈ℕ \)

Demostración:
por hipótesis: \( x|a ⇔ ∃k, k∈ℕ / x·k = a \), se multiplica ambos miembros de la igualdad por m: \( x·k·m = m·a ⇒_{asociativa} x·(k·m) = m·a \)

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