Universo Científico :: Divisibilidad en ℕ

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Divisor de un número natural:

Definición:
Dados dos números $ a∈ℕ $ y $ a∈ℕ^{*} $, decimos que el número $ a $ es divisor del número $ b $, denotado como $ a | b $, si y sólo si, existe un natural $ k $, tal que $ a·k = b $.

$$ a | b ⇔ ∃k, k∈ℕ / a·k = b $$

Observaciones:
· El número 1 es divisor de todos los naturales.
· Todo número natural distinto de cero es divisor de sí mismo.
· El cero no es divisor de ningún número natural.

Divisores de un número:
$ d(12) = {1,2,3,4,6,12} $

Múltiplo de un número natural:

Definición:
Decimos que $ b $ es múltiplo de $ a $, denotado como $ b = \dot a $, si y sólo si $ a $ es divisor de $b$.

$$ b = \dot a ⇔ a | b $$

Teorema I:
Si un número $ x $ ($ x∈ℕ^{*} $, es divisor de dos naturales $ a $ y $ b $, entonces es divisor de su suma.

Hipótesis:
$ x|a ∧ x|b $

Tesis:
$ x|(a+b) $

Demostración:
por hipótesis:
$ x|a ⇔ ∃k, k∈ℕ / x·k = a $
$ x|b ⇔ ∃h, h∈ℕ / x·h = b $
Sumamos miembro a miembro ambas igualdades:
$ x·k + x·h = a + b ⇒_{distributiva} x·(k + h) = a + b $

Corolario:
$ a = \dot x ∧ b = \dot x ⇒ a + b = \dot x $

Teorema II:
Si un número natural $ x $, es divisor de un número natural $ a $, entonces es divisor de cualquier múltiplo $ (m·a) $ de él.

Hipótesis:
$ x | a $

Tesis:
$ x|(m·a) ∀m, m∈ℕ $

Demostración:
por hipótesis: $ x|a ⇔ ∃k, k∈ℕ / x·k = a $, se multiplica ambos miembros de la igualdad por m: $ x·k·m = m·a ⇒_{asociativa} x·(k·m) = m·a $

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