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Número complejo
12-11-2012, 6:07 PM
Post: #1
Número complejo



Un número complejo es la unión del conjunto de los números reales y el conjunto de los números imaginarios: \( ℝ ∪ \Im = ℂ \).

Definición:
Los números complejos son de la forma binómica \( a + b·i \), donde \( a \) es la parte real, \( b \) es la parte imaginaria e \( i \) es la unidad imaginaria pura.

A los números complejos se los puede representar en un plano de ejes cartesiano (diagrama de Argand), lo cual se conoce como notación cartesiana. La parte real es la abscisa mientras que la parte imaginaria es la ordenada:

Notaciones:
· Notación binómica:
\( z = a + b·i \)

· Notación cartesiana:
\( z (a, b) \)

· Notación trigonométrica:
\( z = r·(cos \theta + i·sen \theta) \)

· Notación polar:
\( z = \rho ∠ \theta \)

Siendo:
· \( \rho = |z| \) (módulo)
· \( \theta = \) ángulo (argumento)

Pudiéndose calcular como:
· \( |z| = \sqrt {a^2 + b^2} \)
· \( \theta = \arctan \left ( \frac {b}{a} \right ) \)

Regla de conversión:
\( a = |z|·cos \theta \)
\( b = |z|·sen \theta \)

Tener en cuenta que:
Para el caso en que \( a = 0 \), el afijo pertenece al eje \( y ⇒ \theta = \frac {\pi}{2} = 90º ∨ \theta = \frac {3·\pi}{2} =270º \).

Igualdad de números complejos:
Dos números complejos \( z = a + b·i \) y \( w = c + d·i \) son iguales si tienen la misma parte real y la misma parte imaginaria:
$$ a + b·i = c + d·i ⇔ a = c ∧ b = d $$

Conjugado de un número complejo:
Sea \( z = a + b·i \) un número complejo, su conjugado será \( \overline z = a - b·i \). O sea, el conjugado de un número complejo, es otro número complejo que tiene igual parte real y opuesta parte imaginaria.



Propiedad de la suma: la suma de dos números complejos conjugados siempre da otro número complejo real puro (sin parte imaginaria) y del doble de la parte real:
$$ z + \overline z = (a + b·i) + (a - b·i) = 2·a $$

Propiedad del producto: el producto de dos números complejos conjugados siempre da otro número complejo real puro (sin parte imaginaria):
$$ z · \overline z = (a + b·i) · (a - b·i) = a^2 + b^2 $$

Más propiedades delos complejos conjugados:
1. \( \overline z + \overline w = \overline {(z + w)} \)
2. \( \overline z · \overline w = \overline {(z · w)} \)
3. \( \frac {\overline z}{\overline w} = \overline { \frac {z}{w} } \)
4. \( k· \overline z = \overline {k·z}, k∊ℝ \)
5. \( (\overline z)^n = \overline {z^n}, n∊ℕ \)

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12-01-2013, 8:24 PM
Post: #2
Operaciones:

· Adición:
Sean \( z \) y \( w \) dos números complejos de la forma \( z = a + b·i \) y \( w = c + d·i \), llamaremos adición a la operación:
$$ z + w = (a + b·i) + (c + d·i) = (a + c) + (b+d)·i $$

Propiedad:
· De cierre: la suma de dos números complejos es otro número complejo.
· Asociativa: Si \( z_{1}, z_{2}, z_{3} \) son número complejos, se cumple que: \( (z_{1} + z_{2}) + z_{3} = z_{1} + (z_{2} + z_{3}) \).
· Conmutativa: Si \( z_{1}, z_{2} \) son números complejos, se cumple que: \( z_{1} + z_{2} = z_{2} + z_{1} \).
· Elemento neutro: es \( 0 + 0·i \).
· Complejo opuesto: el opuesto del número \( z = a + b·i \), es \( -z = -a - b·i \); en efecto, la suma de un número complejo y su opuesto da el elemento neutro.

· Diferencia:
Sean \( z \) y \( w \) dos números complejos de la forma \( z = a + b·i \) y \( w = c + d·i \), llamaremos diferencia a la operación:
$$ z - w = (a + b·i) - (c + d·i) = a + b·i - c - d·i = (a - c) + (b - d)·i $$

· Producto:
Sean \( z \) y \( w \) dos números complejos de la forma \( z = a + b·i \) y \( w = c + d·i \), llamaremos producto a la operación:
$$ z · w = (a + b·i)·(c + d·i) = a·c + a·d·i + b·c·i + b·d·i^2 = a·c + a·d·i + b·c·i - b·d = (a·c - b·d) + (a·d + b·c)·i $$

Propiedades:
· De cierre: el producto de dos números complejos es otro número complejo.
· Asociativa: si \( z_{1}, z_{2}, z_{3} \) son número complejos, se cumple que: \( (z_{1} · z_{2}) · z_{3} = z_{1} · (z_{2} · z_{3}) \).
· Conmutativa: Si \( z_{1}, z_{2} \) son números complejos, se cumple que: \( z_{1} · z_{2} = z_{2} · z_{1} \).
· Elemento neutro: es \( 1 + 0·i \).
· Propiedad del inverso: si \( z = a + b·i \) es un número complejo no nulo, el inverso de \( z \), denotado \( z^{-1} \), es otro número complejo, el cual satisface \( z·z^{-1} = 1 \).
· Propiedad distributiva con respecto a la adición: si \( z_{1}, z_{2}, z_{3} \) son número complejos, se cumple que: \( z_{1} · (z_{2} + z_{3}) = z_{1}·z_{2} + z_{1}·z_{3} \).

· Cociente:
Sean \( z \) y \( w \) dos números complejos de la forma \( z = a + b·i \) y \( w = c + d·i \), llamaremos cociente a la operación:
$$ \frac {z}{w} = \frac {z· \overline {w}}{w · \overline {w}} = \frac {(a + b·i)·(c - d·i)}{(c + d·i)·(c - d·i)} = \frac {(a·c + b·d) + (-a·d + b·c)·i}{c^2 + d^2}$$

· Potenciación:
Potencia de base \( a + b·i \) y exponente natural:

$$ (a + b·i)^0 = 1; a≠0 ∨ b≠0 $$
$$ (a + b·i)^n = (a + b·i)^{n-1}·(a + b·i); n∊ℕ, n≥1 $$

· Potenciación de la unidad imaginaria:

Para averiguar el valor del cualquier potencia de exponente natural de la unidad imaginaria: \( i^n \), se efectúa la división entera del exponente entre 4:

Si el resto de la división es:
· \( 0 \) el resultado de la potencia será \( 1 \).
· \( 1 \) el resultado de la potencia será \( i \).
· \( 2 \) el resultado de la potencia será \( -1 \).
· \( 3 \) el resultado de la potencia será \( -i \).

Recordar la definición de división: \( n - 4·q = r \)

Siendo:
· \( n \) = el exponente al que se eleve la unidad imaginaria.
· \( q \) = el cociente de la división.
· \( r \) = el resto de la división.



· Radicación:
La raíz n-ésima de \( u∊ℂ \) es cualquier número complejo \( z = a + b·i \) que satisface \( z^n = (a + b·i)^n = u \).

$$ u∊ℂ, \sqrt [n]{u} = z ⇔ z^n = u $$

Raíz cuadrada de un número complejo:
$$ \sqrt {a + b·i} = ± \left [ \sqrt {\frac {\sqrt {a^2 + b^2} + a}{2}} + [sg(b)] \sqrt {\frac {\sqrt {a^2 + b^2} - a}{2}}·i \right ] $$

Siendo:
· \( sg(b) \) es el signo de \( b \), o sea, si es positivo o negativo.

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12-01-2013, 10:30 PM
Post: #3
Representación cartesiana:

A continuación, se representa el número complejo \( z = 3 + 4·i \).



El plano cartesiano donde se representan los número complejos (plano complejo) tiene el nombre de diagrama de Argand.

La parte real es la abscisa mientras que la parte imaginaria es la ordenada. Al eje horizontal (o de las abscisas) se lo conoce como eje real (Re), mientras que al eje vertical (o de las ordenadas) se lo conoce como eje imaginario (Im).



El módulo de un número complejo se puede calcular fácilmente aplicando el teorema de Pitágoras, llegando a la siguiente igualdad:
$$ |z| = \sqrt {a^2 + b^2} $$
Recordemos que \(a,b\) son números reales.

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02-03-2013, 0:11 AM
Post: #4
Teoremas:
· Todo polinomio de variable compleja y coeficientes complejos, de grado mayor que cero, admite al menos una raíz.
· Todo polinomio de variable compleja y grado \( n \) mayor que cero, tiene \( n \) raíces.
· Todo polinomio de variable compleja y coeficientes reales que admita una raíz compleja, admite también como raíz a su conjugado.

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18-04-2013, 9:12 PM
Post: #5
· Módulo o valor absoluto de un número complejo:

Propiedades:
· El módulo de un producto de números complejos es el producto de los módulos de cada uno de ellos:
$$ |z·w| = |z|·|w| $$
· El módulo del conjugado de un número complejo es igual al módulo del propio complejo:
$$ |z| = |\overline z| $$

· Desigualdad triangular aplicada a un número complejo:
$$ |z + w| ≤ |z| + |w| $$

También se cumple que:
$$ |z_{1} + z_{2} + z_{3} + ... + z_{n}| ≤ |z_{1}| + |z_{2}| + |z_{3}| + ... + |z_{n}| $$

· El raíz cuadrada del producto de un número complejo por su conjugado es igual al módulo del complejo:
$$ |z| = \sqrt{z· \overline z} $$

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