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Ecuación exponencial (resolución simple: cambio de variable)
13-09-2013, 9:33 PM
Post: #1
Resolver en ℝ la siguiente ecuación exponencial:

$$ 4^{n+2} + 4^{n+1} + 4^{n} = 8 $$
13-09-2013, 9:39 PM
Post: #2
$$ 4^{n+2} + 4^{n+1} + 4^{n} = 8 $$

Por propiedades de potencias, podemos reescribir la anterior ecuación de la siguiente forma:
$$ 4^{2}·4^{n} + 4·4^{n} + 4^{n} = 8 $$

 

Realizamos un cambio de variable conveniente:
$$ 4^{n} = y $$
Y lo reemplazamos:
$$ 4^{2}·y + 4·y + y = 8 $$
Llegamos a una ecuación de primer grado:
$$ 21·y = 8 ⇒ y = \frac {8}{21} $$

Pero realizamos un cambio de variable, así que debemos reemplazar el valor de \( y \) hallado para hallar el de \( n \).
$$ 4^{n} = \frac {8}{21} ⇒ n = \log_{4}\frac {8}{21} $$

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