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Problema de raíces independientes del parámetro (RIP)
28-08-2013, 5:34 AM
Post: #1
Dado el polinomio $$ p(x) = -3mx^3+(3-2m)x^2+(7m+5)x-2(m+1) $$
a. Hallar las raíces independientes del parámetro \( m \).
b. Hallar \( m \) para que \( p(x) \) tenga raíz \( \frac {3}{2} \).
28-08-2013, 5:43 AM
Post: #2
Siempre que el problema trate sobre las RIP, hay que ordenar en el parámetro. O sea, lo que voy a hacer es quitar todos los paréntesis haciendo distributiva y luego ordenar en el parámetro.

$$ -3mx^3+(3-2m)x^2+(7m+5)x-2(m+1) $$
$$ m·(-3·x^3-2·x^2+7·x-2)+(3·x^2+5·x-2) $$

Acá vamos a parar todo lo mecánico y pensar por un momento.

Me conviene resolver la siguiente ecuación: \( -3·x^3-2·x^2+7·x-2 = 0 \)
Veo que tiene una raíz evidente, \( x = 1 \). Divido por Ruffini y llego al siguiente polinomio: \( -3·x^2-5·x+2 \).
Puedo afirmar que: \( -3·x^3-2·x^2+7·x-2 = (-3·x^2-5·x+2)·(x-1) \). Lo reemplazo en la anterior expresión que veníamos trabajando.

$$ m·(-3·x^2-5·x+2)·(x-1)+(3·x^2+5·x-2)=0 $$
$$ -m·(3·x^2+5·x-2)·(x-1)+(3·x^2+5·x-2)=0 $$
Saco de factor común el factor repetido:
$$ (3·x^2+5·x-2)·[-m·(x-1)+1]=0 $$

Por Hankeliana tengo que: \( 3·x^2+5·x-2 = 0 \)
Resuelvo por Bháskara y tengo que: \( x_{1} = -2 ∧ x_{2} = \frac {1}{3} \). Estados dos son las RIP.

Para resolver la parte b, vamos a trabajar con el otro factor:
$$ -m·(x-1)+1=0 $$
Sabemos por letra del ejercicio que \( x = \frac {3}{2} \), así que lo sustituimos.
$$ -m·(\frac {3}{2}-1)+1=0 $$
$$ -m·(\frac {3-2}{2})=-1 $$
$$ -m·(\frac {1}{2})=-1 $$
$$ \frac {-m}{2}=-1 $$
$$ \frac {m}{2}=1 $$
$$ m = 2 $$

¿No estás de acuerdo con lo que escribí? ¡por favor explícame tu punto de vista! :)

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