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Problema de complejos, módulo, hallar región del plano, cfa
12-07-2013, 4:34 PM
Post: #1
Hallar el conjunto de los números \( z \) del plano complejo que satisfacen que \( | z + i + 1 | = 2 \).
12-07-2013, 4:41 PM
Post: #2
Primero que nada: sabemos que \( z \) representa un complejo cualquiera, y como vemos, estamos trabajando de forma puramente algebraica, por lo que nos corresponderá usar la notación binómica. Entonces afirmo lo siguiente:

$$ z = a + b·i $$

Reemplazo en la ecuación:

$$ | a + b·i + i + 1 | = 2 $$

Asocio términos a mi conveniencia: reales por un lado, imaginarios por el otro.

$$ | (a + 1) + (b+1)·i | = 2 $$

Recordemos que el módulo de un complejo se puede calcular de la forma:
$$ | z | = \sqrt {x^2 + y^2} $$

Aplico el anterior razonamiento a la ecuación:

$$ \sqrt {(x+1)^2 + (y+1)^2} = 2 $$

Elevo ambos miembros al cuadrado para sacarme el radical:

$$ (x+1)^2 + (y+1)^2 = 4 $$

Hago potencia, distributiva, todo lo que me convenga y lo dejo todo de un solo lado:

$$ x^2 + y^2 + 2·x + 2·y - 2 = 0 $$

La anterior ecuación corresponde a una cfa de centro \( C(-1, -1) \) y radio \( r=2 \). Ahora la grafico:


Recordemos que los valores de \( x \) son los valores reales, mientras que los valores de \( y \) son los valores imaginarios.

Archivo(s) adjunto(s): 2857226.png(44Kb)

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