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Resolver ecuación cuadrática por el método de completar cuad
23-04-2013, 1:12 AM
Post: #1
Resolver en R la siguiente ecuación, por el método de completar cuadrados:

$$ x^2 + x - 6 = 0 $$
23-04-2013, 1:20 AM
Post: #2
El método de completar cuadrados intenta llegar a una expresión que se pueda factorizar como el cuadrado de un binomio.

Quote
Cuadrado de un binomio:
$$ (a+b)^2 = a^2 + 2·a·b + b^2 $$


Hay que dejar los términos que poseen variables de un lado y el número del otro.

$$ x^2 + x - 6 = 0 ⇒ x^2 + x = 6 $$

Ahora vamos a pensar lo siguiente:
$$ (x+b)^2 = x^2 + 2·x·b + b^2 $$

¿Cuál debe ser el valor de \( b \)?

Como vemos, la ecuación dice que el término del medio tiene coeficiente 1, por lo que debemos penar que valor tiene que tener \( b \) que para cuando lo multipliquemos por 2 nos dé 1. La respuesta es: hay que multiplicarlo por su inverso, o sea, 1/2. Entonces podemos afirmar que \( b = \frac {1}{2} \).

$$ x^2 + x + \frac {1}{4} $$

Ahora retomamos la ecuación y pensamos, qué diferencia hay entre:
$$x^2 + x + \frac {1}{4}$$ y $$ x^2 + x $$
Pues, que una tiene 1/4 y la otra no, por lo que en la ecuación vamos a sumar 1/4 al miembro derecho:

$$ x^2 + x + \frac {1}{4} = 6 + \frac {1}{4} $$
Ahora vamos a escribirlo como cuadrado de un binomio:
$$ \left (x + \frac {1}{2}\right ) ^2 = \frac {25}{4} $$

Ahora vamos a aplicar raíz cuadrada a ambos miembros:
$$ \sqrt {\left (x + \frac {1}{2}\right ) ^2} = \sqrt {\frac {25}{4}} $$

Resultando en:
$$ x + \frac {1}{2} = \Bigg | \frac {5}{2} \Bigg | $$

Llegamos a dos ecuaciones de primer grado que ya sabemos resolver.

$$ x + \frac {1}{2} = \frac {5}{2} $$
$$ x + \frac {1}{2} = - \frac {5}{2} $$

$$ S = \left\{ 2, -3\right\} $$

¿No estás de acuerdo con lo que escribí? ¡por favor explícame tu punto de vista! :)

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