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Hallar vértice de un cuadrado. Geometría analítica.
05-03-2013, 2:44 AM
Post: #1
Hallar las coordenadas de un punto D que es vértice de un cuadrado, sabiendo que los otros vértices del mismo cuadrado son A(-1; 0), B(2; 3) y C(5; 0).
05-03-2013, 2:49 AM
Post: #2
Primero que nada vamos a graficar los puntos que tenemos para orientarnos.



La forma más sencilla es utilizando punto medio, y eso es lo que haremos.

Quote
Punto medio entre dos puntos:
El punto medio entre dos puntos \( A(x_{A}; y_{A}) \) y \( B(x_{B}; y_{B}) \) se puede calcular como:
$$ P \left ( \frac {x_{A} + x_{B}}{2}; \frac {y_{A} + y_{B}}{2} \right ) $$


Pensemos lo siguiente, las dos diagonales de un cuadrado concurren en un mismo punto, este punto es el punto medio de ambas diagonales.

Calcularemos el punto medio entre los puntos \( A \) y \( C \), que a la vez, será el punto medio entre los puntos \( B \) y \( C \) (el que queremos hallar).

· Cálculo del punto medio entre \( A \) y \( C \):
$$ P_{AC} \left ( \frac {-1 + 5}{2}; \frac {0 + 0}{2} \right ) $$
$$ P_{AC} \left ( \frac {4}{2}; \frac {0}{2} \right ) $$
$$ P_{AC} \left ( 2; 0 \right ) $$



Este punto medio que hallamos es el mismo punto medio que entre \( B \) y \( D \).

$$ P_{AC} = P_{BD} $$

Ahora vamos a plantear una ecuación.

$$ \frac {2 + x_{D}}{2} = 2 ⇒ 2 + x_{D} = 2·2 ⇒ x_{D} = 2·2 - 2 ⇒ x_{D} = 2 $$
$$ \frac {3 + y_{D}}{2} = 0 ⇒ 3 + y_{D} = 0·2 ⇒ y_{D} = 0·2 - 3 ⇒ y_{D} = -3 $$

Por lo que las coordenadas del punto restante son: \( D(2, -3) \).


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