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Ecuación bicuadrada
15-02-2013, 8:51 AM
Post: #1
Resolver en R la siguiente ecuación bicuadrada:
$$ x^4 -13·x^2 + 36 = 0 $$
15-02-2013, 9:01 AM
Post: #2
Una ecuación bicuadrada es una ecuación incompleta de cuarto grado, donde las variables están elevadas a grados pares (ya que las que están elevadas a grados impares se encuentran anuladas, o sea, tiene coeficiente 0). El método para resolverlas consta de hacer un cambio de variable, lo cual no es muy difícil.

El cambio de variable que aplicaremos (que en este tipo de ecuaciones es siempre el mismo) es: \( x^2 = y \), sustituyendo resulta en:
$$ y^2 -13·y + 36 = 0 $$

Como vemos, nos queda una ecuación de segundo grado, lo cual ya debemos haber trabajado antes.

$$ y_{1;2} = \frac {-(-13)± \sqrt {(-13)^2 - 4·1·36}}{2·1} = \frac {13 ± \sqrt {169 - 144}}{2} = \frac {13 ± \sqrt {25}}{2} = \frac {13 ± 5}{2} $$

$$ y_{1} = \frac {13 + 5}{2} = \frac {18}{2} = 9 $$
$$ y_{2} = \frac {13 - 5}{2} = \frac {8}{2} = 4 $$

$$ S = \left\{ 4; 9 \right\} $$

Pero estas raíces que hayamos no son las de la ecuación bicuadrada, son las de la de segundo grado, como hicimos cambio de variable vamos a hacer lo siguiente:

$$ x^2 = y ⇒ x = ± \sqrt {y} $$

Vamos a sustituir los valores de \( y \) para conocer los valores de \( x \).

$$ x = ± \sqrt {9} = ±3 $$
$$ x = ± \sqrt {4} = ±2 $$

$$ S = \left\{ -3; -2; 2; 3 \right\} $$

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